Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Exata)
.
(Equação Exata)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial de Primeira Ordem do tipo exata. Ou seja, temos uma equação que pode ser escrita na forma
, e que satisfaz a condição de exatidão. Para resolver, vamos precisar identificar as funções
e
, verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação dada:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se elas são iguais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 5
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Igualando a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial é obtida igualando a
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.