Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Exata) t y-1t^2 y d t-1t y^2 d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial de Primeira Ordem do tipo exata. Ou seja, temos uma equação que pode ser escrita na forma M(t, y) dt + N(t, y) dy = 0, e que satisfaz a condição de exatidão. Para resolver, vamos precisar identificar as funções M e N, verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(t, y) e N(t, y) na equação dada:
M(t, y) = t y - 1t^2 y e N(t, y) = -1t y^2

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a t e ver se elas são iguais:
partial Mpartial y = t cdot t^2 y - (t y - 1) cdot t^2(t^2 y)^2 = t^3 y - t^3 y + t^2t^4 y^2 = t^2t^4 y^2 = 1t^2 y^2
partial Npartial t = ddt(-1t y^2) = 1t^2 y^2
Como partial Mpartial y = partial Npartial t, a equação é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial Ψ(t, y) tal que:
partial Ψpartial t = M(t, y) e partial Ψpartial y = N(t, y)
Primeiro, integramos M(t, y) em relação a t:
Ψ(t, y) = integral t y - 1t^2 y dt = integral (t yt^2 y - 1t^2 y) dt = integral (1t - 1t^2 y) dt
Integrando termo a termo:
Ψ(t, y) = ln|t| + 1t y + h(y)
Onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 5

Agora, diferenciamos Ψ(t, y) em relação a y e igualamos a N(t, y) para encontrar h(y):
partial Ψpartial y = ddy(ln|t| + 1t y) + h'(y) = -1t y^2 + h'(y)
Igualando a N(t, y):
-1t y^2 + h'(y) = -1t y^2
Isso implica que h'(y) = 0, então h(y) é uma constante, que podemos chamar de C.

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
Ψ(t, y) = ln|t| + 1t y + C
A solução geral da equação diferencial é obtida igualando a Ψ(t, y) a uma constante:
ln|t| + 1t y = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é ln|t| + 1t y = C, onde C é uma constante.

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