16- Faça o fluxograma do método das secantes.
Passo 1
O que o enunciado pede: fazer o fluxograma (um diagrama de execução) do método das secantes.
Informações dadas (implícitas no pedido): precisamos representar graficamente os passos do método num fluxo que começa com dados iniciais e termina quando a solução aproximada atende um critério de parada ou ocorre falha. Não há outras restrições explícitas (por ex., formato do fluxograma), então vamos criar um fluxograma completo e robusto que cubra entradas, iterações, critérios de parada e tratamento de problemas.
Informações dadas (implícitas no pedido): precisamos representar graficamente os passos do método num fluxo que começa com dados iniciais e termina quando a solução aproximada atende um critério de parada ou ocorre falha. Não há outras restrições explícitas (por ex., formato do fluxograma), então vamos criar um fluxograma completo e robusto que cubra entradas, iterações, critérios de parada e tratamento de problemas.
Passo 2
O que é e como funciona o método das secantes — explicação didática curta e necessária para montar o fluxograma.
- Objetivo: achar uma raiz de uma função
, isto é um tal que . - Ideia básica: aproximar a função por uma reta (secante) que passa por dois pontos
e e usar a interseção dessa reta com o eixo como próxima aproximação . Repetimos até convergir. - Fórmula da iteração (resultado da interseção da secante com o eixo
):
Aqui
e
são as duas últimas aproximações conhecidas, e
são os respectivos valores da função.
Passo 3
Derivação rápida e explicativa da fórmula (para você entender e lembrar na prova).
- A equação da reta que passa por
e é
onde a inclinação
é
- Para achar a interseção com o eixo
colocamos e resolvemos para :
- Substituindo
obtemos a fórmula do passo anterior. Isso mostra de onde vem a expressão e o porquê dela.
Passo 4
Entradas necessárias e critérios de parada (essenciais para o fluxograma).
Entradas que o fluxograma deve requisitar:
Entradas que o fluxograma deve requisitar:
- A função
. - Aproximações iniciais
e . - Tolerância
(critério de precisão). - Número máximo de iterações
.
Critérios de parada típicos (uso no fluxograma como testes): -
(mudança pequena entre iterações). - ou
(valor da função próximo de zero). - ou atingir
(parar por segurança).
Também é necessário verificar a condição perigosa(divisão por zero) e tratar esse caso.
Passo 5
Possíveis decisões de projeto do fluxograma (por que escolher tal estrutura).
- Vamos priorizar usar ambos os testes de convergência (
e ) e também checar . Isso dá robustez. - Se ocorrer divisão por zero em
o fluxograma deve oferecer uma saída de falha (ou tentar perturbear ); para simplicidade do fluxograma, exibiremos uma mensagem de erro e interromperemos. - O fluxo deve ser claro: leitura de dados → loop de iteração com checagens → saída com sucesso ou falha.
Passo 6
Pseudocódigo do método (passo a passo num formato que será traduzido para caixas do fluxograma). Isso facilita transformar em fluxograma depois.
- Entrada:
, , , , . - Inicializar
. - Enquanto
faça: - Calcular
e . - Se
então parar com erro (divisão por zero). - Calcular
- Se
ou então sair com sucesso (retornar ). - Atualizar
, , .
- Calcular
- Se saiu do laço por
, parar indicando falha por não convergência.
Passo 7
Mapeamento do pseudocódigo para símbolos de fluxograma (para você saber que caixa usar para cada ação):
- Início: elipse com “Start”.
- Entrada de dados: paralelogramo com os itens
, , , , . - Inicialização de variáveis: retângulo (processamento).
- Cálculo de
: retângulo. - Decisão (teste): losango (ex.: verificar se
). - Cálculo de
: retângulo. - Testes de convergência: losango.
- Atualizar índices/variáveis: retângulo.
- Saída (sucesso ou erro): paralelogramo.
- Fim: elipse com “End”.
No fluxograma usaremos setas direcionais que conectam essas caixas.
Passo 8
Fluxograma detalhado em linguagem textual passo-a-passo (cada caixa descrita e a seta entre elas). Você pode transformar esta descrição em um desenho facilmente. Vou numerar as caixas e indicar as decisões e ramos claramente.
- [Start]
- [Input] Ler
, , , , . - [Process] Colocar
. - [Process] Calcular
e . - [Decision] Teste:
- Se Sim: ir para 5a).
- Se Não: ir para 6).
5a) [Output/Error] Mostrar "Erro: divisão por zero em". Ir para [End-erro].
- [Process] Calcular
- [Decision] Teste de convergência:
OU ? - Se Sim: ir para 7a).
- Se Não: ir para 8).
7a) [Output/Success] Mostrar "Raiz aproximada". Ir para [End-sucesso].
- [Process] Atualizar:
, , . - [Decision] Teste de iteração:
- Se Sim: voltar para 4) (laço).
- Se Não: ir para 9a).
9a) [Output/Failure] Mostrar “Falha: máximo de iterações atingido, sem convergência”. Ir para [End-falha].
- [End-sucesso] e [End-erro] e [End-falha] são elipses de término (cada uma finaliza o fluxo).
Observações sobre setas: a seta parte de cada caixa e aponta para a próxima indicada acima; no losango (decisão) haverá duas saídas claramente rotuladas “Sim” e “Não”.
Passo 9
Dicas práticas e variações que você pode inserir no fluxograma (úteis na prova ou na implementação):
- Em 5a) em vez de terminar com erro, pode-se tentar uma pequena perturbação, por ex. substituir
por com pequeno e continuar; isso complica o fluxograma, então só faça se pedir robustez extra. - Ordem de avaliação: calcular
e depois de obter (não antes). - Mostre no fluxograma que a saída deve retornar também o número de iterações
e o status (sucesso/falha). - Para clareza na prova, desenhe cada tipo de caixa com legenda: elipse = início/fim, paralelogramo = entrada/saída, retângulo = processo, losango = decisão.
Resposta
Start
-> Input: Ler ,
,
,
,
-> Process:
-> Process: ,
-> Decision:
-> Input: Ler
-> Process:
-> Process:
-> Decision:
- Sim -> Output/Error: "Erro: divisão por zero em
" -> End (erro) - Não -> Process:
-> Decision:OU ? - Sim -> Output/Success: "Raiz aproximada
" -> End (sucesso) - Não -> Process: atualizar
, ,
-> Decision: - Sim -> voltar para cálculo de
(laço) - Não -> Output/Failure: “Falha: máximo de iterações atingido, sem convergência” -> End (falha)