Programe o método da bissecção e encontre com precisão de 10^{-3} todas as raízes de:
x^{5}-x-1=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar, com precisão 10^{-3}, todas as raízes reais da equação
x^{5}-x-1=0.
Informações dadas e observações iniciais que vamos usar:
  • A função que aparece é f(x)=x^{5}-x-1.
  • Queremos determinar valores de x tais que f(x)=0, com erro absoluto menor ou igual a 10^{-3}.
  • A função f é um polinômio (logo contínua e derivável em toda a reta).
  • O enunciado não dá intervalos iniciais — precisamos escolher intervalos onde f muda de sinal para aplicar o método da bissecção.
  • Vamos procurar raízes reais; se houverem várias, devemos encontrá‑las todas. (A seguir vamos verificar quantas raízes reais existem e localizar intervalos com mudança de sinal.)

Passo 2

Explicação didática do método da bissecção (para eu aplicar na prova):
  • Ideia chave: se f é contínua em um intervalo [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em (a,b).
  • Bissecção: tomamos o ponto médio c=(a+b)/2. Se f\text{(c)}=0 parámos; senão, substituímos [a,b] por [a,c] ou [c,b] escolhendo o subintervalo onde ocorre mudança de sinal (onde f e f do outro extremo têm sinais opostos). Repetimos.
  • Critério de parada (que garante erro): se queremos erro em x menor que \varepsilon, podemos parar quando
\frac{b-a}{2}\le \varepsilon.
Isto garante que o valor devolvido (a+b)/2 difere da raiz verdadeira por no máximo \varepsilon.
  • Número de iterações aproximado: a cada iteração o comprimento do intervalo divide por 2. A quantidade mínima N de iterações necessárias para que (b-a)/2^{N}\le \varepsilon satisfaz
N \ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right).
  • Em prova, devo sempre verificar f(a)\cdot f(b)<0 antes de iniciar.

Passo 3

Escolha do intervalo inicial e verificação de sinais:
  • Vamos avaliar f em pontos simples para encontrar mudança de sinal.
  • Calcule:
f(1)=1^{5}-1-1=-1,
f(2)=2^{5}-2-1=32-2-1=29.
Como f(1)=-1<0 e f(2)=29>0, existe pelo menos uma raiz em (1,2).
  • Observação (útil para saber quantas raízes reais procurar): como f é um polinômio de grau ímpar, existe pelo menos uma raiz real. Analisando a derivada f'(x)=5x^{4}-1 vemos que os extremos críticos ocorrem em x=\pm(1/5)^{1/4} e os valores de f nesses pontos são negativos; portanto f cruza o eixo real apenas uma vez. Conclusão prática: existe exatamente uma raiz real e ela está em (1,2). Assim precisamos localizar apenas essa.

Passo 4

Programa (pseudocódigo / código simples) do método da bissecção — explicação para implementar rapidamente:
  • Em Python (exemplo fácil de levar para a prova como pseudo‑código):
def f(x):
    return x**5 - x - 1

def bisection(a, b, tol):
    if f(a)*f(b) >= 0:
        raise ValueError("Não há mudança de sinal em [a,b]")
    while (b - a) / 2.0 > tol:
        c = (a + b) / 2.0
        if f\text{(c)} == 0:
            return c
        if f(a) * f\text{(c)} < 0:
            b = c
        else:
            a = c
    return (a + b) / 2.0

# Chamada:
root = bisection(1, 2, 1e-3)
  • Explicando cada linha para a prova: a função f avalia o polinômio; a função bisection verifica mudança de sinal e repete até (b-a)/2\le tolerância; ao final retorna o ponto médio que é a aproximação da raiz.

Passo 5

Aplicação manual da bissecção em [1,2] com \varepsilon=10^{-3} (vou mostrar cada iteração relevante; vocês aprendem a fazer isso à mão em prova):
  • Inicialmente: a_{0}=1, b_{0}=2.
  • Iteração 1: c_{1}=\dfrac{1+2}{2}=1,5.
    • f(1,5)=1{,}5^{5}-1{,}5-1=7{,}59375-2{,}5=5{,}09375>0.
    • Sinal oposto a f(1), então novo intervalo [1,1{,}5].
  • Iteração 2: c_{2}=\dfrac{1+1{,}5}{2}=1{,}25.
    • f(1{,}25)\approx 3{,}0517578125-2{,}25=0{,}8017578125>0.
    • Novo intervalo [1,1{,}25].
  • Iteração 3: c_{3}=\dfrac{1+1{,}25}{2}=1{,}125.
    • f(1{,}125)\approx 1{,}80203247-2{,}125\approx -0{,}32296753<0.
    • Novo intervalo [1{,}125,1{,}25].
  • Iteração 4: c_{4}=\dfrac{1{,}125+1{,}25}{2}=1{,}1875.
    • f(1{,}1875)\approx 2{,}3602619-2{,}1875\approx 0{,}17276>0.
    • Novo intervalo [1{,}125,1{,}1875].
  • Iteração 5: c_{5}=\dfrac{1{,}125+1{,}1875}{2}=1{,}15625.
    • Calculando com frações (mais exatas): 1{,}15625=\dfrac{37}{32} f(1{,}15625)\approx -0{,}089656.
    • Novo intervalo [1{,}15625,1{,}1875].
  • Iteração 6: c_{6}=\dfrac{1{,}15625+1{,}1875}{2}=1{,}171875.
    • 1{,}171875=\dfrac{75}{64} f(1{,}171875)\approx 0{,}038225>0.
    • Novo intervalo [1{,}15625,1{,}171875].
  • Iteração 7: c_{7}=\dfrac{1{,}15625+1{,}171875}{2}=1{,}1640625.
    • 1{,}1640625=\dfrac{149}{128} f(1{,}1640625)\approx -0{,}02663<0.
    • Novo intervalo [1{,}1640625,1{,}171875].
  • Iteração 8: c_{8}=\dfrac{1{,}1640625+1{,}171875}{2}=1{,}16796875.
    • 1{,}16796875=\dfrac{299}{256} f(1{,}16796875)\approx 0{,}005561>0.
    • Novo intervalo [1{,}1640625,1{,}16796875].
  • Iteração 9: c_{9}=\dfrac{1{,}1640625+1{,}16796875}{2}=1{,}166015625.
    • 1{,}166015625=\dfrac{597}{512} f(1{,}166015625)\approx -0{,}0107156<0.
    • Novo intervalo [1{,}166015625,1{,}16796875].
Agora verificamos a condição de parada:
  • Comprimento do intervalo atual b-a = 1{,}16796875-1{,}166015625 = 0{,}001953125.
  • Metade do comprimento é (b-a)/2 = 0{,}0009765625, que é menor que \varepsilon=0{,}001.
  • Portanto já podemos parar e tomar como aproximação da raiz o ponto médio
x_{\text{aprox}}=\frac{1{,}166015625+1{,}16796875}{2}=1{,}1669921875.
  • Essa aproximação satisfaz o critério de erro absoluto \le 10^{-3}. Se for pedido arredondar para 3 casas decimais, obtemos 1{,}167.

Passo 6

Resumo didático final (como eu faria rápido na prova):
  • Encontre um intervalo com mudança de sinal (aqui [1,2]).
  • Aplique bissecção até (b-a)/2\le 10^{-3}.
  • Após 9 iterações o intervalo reduz a [1{,}166015625,\,1{,}16796875] e o ponto médio 1{,}1669921875 tem erro garantido \le 10^{-3}.
  • Arredondando para três casas decimais: 1{,}167.

Resposta

x \approx 1{,}167

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