Programe o método da bissecção e encontre com precisão de
todas as raízes de:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar, com precisão
, todas as raízes reais da equação
Informações dadas e observações iniciais que vamos usar:
- A função que aparece é
. - Queremos determinar valores de
tais que , com erro absoluto menor ou igual a . - A função
é um polinômio (logo contínua e derivável em toda a reta). - O enunciado não dá intervalos iniciais — precisamos escolher intervalos onde
muda de sinal para aplicar o método da bissecção. - Vamos procurar raízes reais; se houverem várias, devemos encontrá‑las todas. (A seguir vamos verificar quantas raízes reais existem e localizar intervalos com mudança de sinal.)
Passo 2
Explicação didática do método da bissecção (para eu aplicar na prova):
- Ideia chave: se
é contínua em um intervalo e , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em . - Bissecção: tomamos o ponto médio
. Se parámos; senão, substituímos por ou escolhendo o subintervalo onde ocorre mudança de sinal (onde e do outro extremo têm sinais opostos). Repetimos. - Critério de parada (que garante erro): se queremos erro em
menor que , podemos parar quando
Isto garante que o valor devolvido
difere da raiz verdadeira por no máximo
.
- Número de iterações aproximado: a cada iteração o comprimento do intervalo divide por
. A quantidade mínima de iterações necessárias para que satisfaz
- Em prova, devo sempre verificar
antes de iniciar.
Passo 3
Escolha do intervalo inicial e verificação de sinais:
- Vamos avaliar
em pontos simples para encontrar mudança de sinal. - Calcule:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
.
- Observação (útil para saber quantas raízes reais procurar): como
é um polinômio de grau ímpar, existe pelo menos uma raiz real. Analisando a derivada vemos que os extremos críticos ocorrem em e os valores de nesses pontos são negativos; portanto cruza o eixo real apenas uma vez. Conclusão prática: existe exatamente uma raiz real e ela está em . Assim precisamos localizar apenas essa.
Passo 4
Programa (pseudocódigo / código simples) do método da bissecção — explicação para implementar rapidamente:
- Em Python (exemplo fácil de levar para a prova como pseudo‑código):
def f(x):
return x**5 - x - 1
def bisection(a, b, tol):
if f(a)*f(b) >= 0:
raise ValueError("Não há mudança de sinal em [a,b]")
while (b - a) / 2.0 > tol:
c = (a + b) / 2.0
if f\text{(c)} == 0:
return c
if f(a) * f\text{(c)} < 0:
b = c
else:
a = c
return (a + b) / 2.0
# Chamada:
root = bisection(1, 2, 1e-3)
- Explicando cada linha para a prova: a função
avalia o polinômio; a função bisectionverifica mudança de sinal e repete atétolerância; ao final retorna o ponto médio que é a aproximação da raiz.
Passo 5
Aplicação manual da bissecção em
com
(vou mostrar cada iteração relevante; vocês aprendem a fazer isso à mão em prova):
- Inicialmente:
, . - Iteração 1:
. -
. - Sinal oposto a
, então novo intervalo .
-
- Iteração 2:
. -
. - Novo intervalo
.
-
- Iteração 3:
. -
. - Novo intervalo
.
-
- Iteração 4:
. -
. - Novo intervalo
.
-
- Iteração 5:
. - Calculando com frações (mais exatas):
dá . - Novo intervalo
.
- Calculando com frações (mais exatas):
- Iteração 6:
. -
dá . - Novo intervalo
.
-
- Iteração 7:
. -
dá . - Novo intervalo
.
-
- Iteração 8:
. -
dá . - Novo intervalo
.
-
- Iteração 9:
. -
dá . - Novo intervalo
.
-
Agora verificamos a condição de parada:
- Comprimento do intervalo atual
. - Metade do comprimento é
, que é menor que . - Portanto já podemos parar e tomar como aproximação da raiz o ponto médio
- Essa aproximação satisfaz o critério de erro absoluto
. Se for pedido arredondar para 3 casas decimais, obtemos .
Passo 6
Resumo didático final (como eu faria rápido na prova):
- Encontre um intervalo com mudança de sinal (aqui
). - Aplique bissecção até
. - Após 9 iterações o intervalo reduz a
e o ponto médio tem erro garantido . - Arredondando para três casas decimais:
.