1.41

Um objeto está situado entre o centro e o foco de um espelho esférico côncavo. Descreva a imagem.

Passo 1

O enunciado diz: um objeto está situado entre o centro e o foco de um espelho esférico côncavo. O que ele pede: descrever como é a imagem formada.
Informações dadas (claras e importantes):
  • O espelho é esférico e côncavo.
  • O objeto está colocado entre o centro de curvatura C e o foco F; isto é, sua distância ao vértice P satisfaz f < s < 2f, onde f é a distância focal e 2f é a distância até o centro C.
    Perguntas que precisamos responder (explicitamente): qual é a natureza da imagem (real ou virtual), sua orientação (direita/vertical ou invertida), se é maior, igual ou menor que o objeto, e onde ela fica em relação ao espelho (por exemplo: à frente/atrás do espelho, antes/depois do centro C, etc.).

Passo 2

Vamos organizar os conceitos básicos que vamos usar (sem assumir que já sabe):
  • O espelho tem um pólo P (o “centro” do espelho), um centro de curvatura C e um foco F. A distância entre P e C é o raio de curvatura R.
  • A distância focal f é dada por f=\dfrac{R}{2}.
  • Denotamos por s a distância do objeto ao vértice P (distância do objeto) e por s' a distância da imagem ao vértice P (distância da imagem). Ambas medidas ao longo do eixo principal.
    (Isto é só para ficar claro o que cada símbolo significa quando aparecerem fórmulas.)

Passo 3

Fórmulas que usamos (e explicação do que cada termo significa):
  • Equação dos espelhos (relação entre distâncias):
\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}.
Aqui \,s é a distância do objeto até P, \,s' é a distância da imagem até P e \,f é a distância focal. Para um espelho côncavo usamos \,f>0.
  • Ampliação linear (magnificação):
m=-\frac{s'}{s}.
O sinal de m indica orientação: m<0 significa imagem invertida em relação ao objeto; o módulo |m| indica tamanho relativo: |m|>1 imagem ampliada, |m|<1 imagem reduzida, |m|=1 mesmo tamanho.

Passo 4

Vamos usar a equação dos espelhos para achar s' em função de s e f. Isolando s':
\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{s}=\frac{s-f}{fs},
logo
s'=\frac{fs}{s-f}.
Agora analisamos a situação dada: o objeto está entre F e C, isto é f < s < 2f. Vamos ver o que isso implica para s'.

Passo 5

Análise de sinal e posição da imagem:
  • Como s>f, o denominador s-f é positivo, e f>0, s>0, então s'>0. Distância positiva s' significa que a imagem se forma na frente do espelho (lado real), ou seja, é uma imagem real.
  • Vamos verificar que s' fica além do centro ( s'>2f). Calculemos s'-2f:
s'-2f=\frac{fs}{s-f}-2f = f\left(\frac{s}{s-f}-2\right) = f\left(\frac{s-2(s-f)}{s-f}\right) = f\left(\frac{2f-s}{s-f}\right).
Para f<s<2f temos 2f-s>0 e s-f>0, portanto \dfrac{2f-s}{s-f}>0 e assim s'-2f>0. Logo s'>2f: a imagem forma-se além do centro de curvatura C.

Passo 6

Análise da ampliação (tamanho e orientação):
  • A ampliação é m=-\dfrac{s'}{s}. Como s'>0 e s>0, o sinal de m é negativo: m<0. Isso significa que a imagem é invertida em relação ao objeto.
  • Como demonstrado antes s'>s (porque s'=\dfrac{fs}{s-f} e para f<s<2f o denominador s-f<f fazendo s'>s), então |m|=\dfrac{s'}{s}>1. Portanto a imagem é ampliada (maior que o objeto).

Passo 7

Intuição via raios (modo prático de desenhar numa prova): use três raios principais que facilitam identificação da imagem:
  1. Um raio emitido paralelo ao eixo principal é refletido passando por F.
  2. Um raio que passe por F antes de incidir no espelho sai refletido paralelo ao eixo.
  3. Um raio que passe por C incide na superfície radialmente e volta sobre si mesmo.
    Se o objeto está entre F e C, os dois primeiros raios refletidos se cruzam à frente do espelho em um ponto mais afastado que C; esse ponto de interseção é a imagem real, invertida e maior. (Na prova, desenhe os três raios e veja a interseção real à frente do espelho.)

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para fixar): escolha s=1{,}5f (entre f e 2f). Então
s'=\frac{fs}{s-f}=\frac{f\cdot 1{,}5f}{0{,}5f}=3f,
ou seja s'=3f>2f. A ampliação é
m=-\frac{s'}{s}=-\frac{3f}{1{,}5f}=-2,
ou seja imagem invertida e com tamanho 2 vezes o do objeto (ampliada) e localizada além de C. Isso confirma a conclusão geral.

Resposta

Imagem real, invertida e ampliada; localizada à frente do espelho além do centro de curvatura ( s'>2f).

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