E 16 Num modelo (não muito correto) dos átomos os elétrons são imaginados girando em torno do núcleo positivo como se fossem planetas girando em torno de um sol. Considere um elétron numa órbita circular girando com uma velocidade angular omega constante. Este elétron que gira constitui uma corrente e podemos tratar a órbita do elétron como uma espira de um minúsculo fio condutor que leva esta corrente. Esta espira possui um momento magnético. Deduza uma fórmula que relacione o momento magnético desta espira com o momento angular do elétron. Sabendo que o momento angular do elétron vale ell=1,05 times 10^-34 kg m^2 s^-1 calcule o momento magnético desta espira de corrente. (dados: massa do elétron =9,109 times 10^-31 kg, carga do elétron = -1,602 times 10^-19 As ).

Passo 1

O enunciado descreve um modelo planetário do átomo em que um elétron de massa m e carga q gira em órbita circular com velocidade angular constante ω. A tarefa é deduzir a fórmula que relaciona o momento magnético μ dessa espira com o momento angular ℓ do elétron e, em seguida, calcular μ sabendo ℓ = 1,05×10^{-34} kg·m²/s.

Passo 2

O elétron em órbita constitui uma corrente elétrica. A corrente é dada por
I=qT,
onde o período é T=tfrac2piomega. A área da espira é A=pi r^2. Logo, o momento magnético vale
mu=I,A=qT,pi r^2=qomega r^22

Passo 3

O momento angular do elétron em órbita circular é
ell=mvr=m(ωr)r=momega r^2

Passo 4

Para relacionar μ e ℓ, isolamos ωr^2 em ell=momega r^2, obtendo ωr^2=tfracellm. Substituindo em mu=tfracqomega r^22, vem
mu=q2m,ell

Passo 5

Agora substituímos os valores: q=-1,602×10^-19 C, m=9,109×10^-31 kg, ell=1,05×10^-34 kg·m²/s. Então
mu=-1,602×10^-192times9,109×10^-31times1,05×10^-34approx-9,23×10^-24 Acdot m^2

Resposta

mu=q2m,elle numericamente muapprox-9,23times10^-24 Acdot m^2

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