1.16 Se o ponto
divide o segmento
na razão de
para
e
é um ponto qualquer do espaço, mostre que:
Passo 1
O enunciado fala de três pontos
P ,
Q e
O no espaço, e diz que o ponto
A divide internamente o segmento
PQ na razão
n:m . Isso significa que
O que queremos mostrar é a conhecida “fórmula do ponto que divide um segmento em coordenadas vetoriais”:
Para isso, vamos usar a adição de vetores e a expressão de
PQ em termos de
OP e
OQ .
Passo 2
Como
A divide
PQ internamente na razão
n:m , temos a relação de vetores
Passo 3
Mas
PQ se escreve como
Substituindo em
PA , obtemos
Passo 4
Agora usamos que
Logo,
Como
1 - tfracnm+n = tfracm+n - nm+n = tfracmm+n , segue que