1.16 Se o ponto divide o segmento na razão de para e é um ponto qualquer do espaço, mostre que:

Passo 1

O enunciado fala de três pontos P, Q e O no espaço, e diz que o ponto A divide internamente o segmento PQ na razão n:m. Isso significa que
|PA||AQ| = nm
O que queremos mostrar é a conhecida “fórmula do ponto que divide um segmento em coordenadas vetoriais”:
OA = mm+n,OP + nm+n,OQ
Para isso, vamos usar a adição de vetores e a expressão de PQ em termos de OP e OQ.

Passo 2

Como A divide PQ internamente na razão n:m, temos a relação de vetores
PA = nm+n,PQ

Passo 3

Mas PQ se escreve como
PQ = OQ - OP
Substituindo em PA, obtemos
PA = nm+n,l(OQ - OPr)

Passo 4

Agora usamos que
OA = OP + PA
Logo,
OA = OP + nm+n,l(OQ - OPr) = l(1 - nm+nr)OP + nm+n,OQ
Como 1 - tfracnm+n = tfracm+n - nm+n = tfracmm+n, segue que
OA = mm+n,OP + nm+n,OQ

Resposta

OA = mm+n,OP + nm+n,OQ

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