1.1 Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
( ) e B=D;
( ) Se A B sim C D, então A C sim B D e os vetores A C e B D são iguais;
( ) Se a e b são LD, então a e b têm representantes colineares;
( ) Se a=0, então os vetores a, b e c são coplanares;
( ) Se os pontos A, B e C não estão alinhados, então os vetores O A, O B e O C são LI;
( ) Dois segmentos orientados colineares e de mesmo comprimento são eqüipolentes;
( ) Se A B sim C D, então B A sim D C;
( ) Os segmentos orientados A A e B B são eqüipolentes;
( ) Se A B sim C D, então o quadrilátero de vértices A, B, C e D é um quadrado;
( ) Vetores determinados por segmentos orientados eqüipolentes são iguais;
( ) Dois pontos do espaço representam o mesmo vetor;
( ) Três pontos não colineares determinam dois vetores LI;
( ) Quatro pontos do espaço não podem ser coplanares;
( ) Dois vetores LI são sempre coplanares;
( ) Três vetores LD são sempre coplanares;
( ) Se A, B e C não estão alinhados e A D=B C, então A, B, C e D são vértices de um paralelogramo;
( ) Três vetores LD são sempre colineares.
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiras ou falsas dezenove afirmações sobre vetores, equipolência, dependência linear, colinearidade, coplanaridade e condição de paralelogramo. Vamos usar as definições:
– Dois segmentos orientados são equipolentes se determinam o mesmo vetor (mesma direção, sentido e comprimento).
– Vetores são linearmente dependentes (LD) se um é múltiplo escalar do outro; colineares se estão sobre uma mesma reta.
– Vetores são linearmente independentes (LI) se nenhum é combinação linear dos demais.
– Três ou mais vetores são coplanares se todos pertencem a um mesmo plano.
– Em um quadrilátero ABCD, a condição AD=BC caracteriza um paralelogramo.
Passo 2
Definimos equipolência como igualdade de vetores.
AB=CD não exige A=C e B=D, basta que segmentos distintos tenham mesma direção, sentido e comprimento. Logo, FALSA.
Se ABsimCD, então AB=CD. Como
AC=AB+BC e BD=BC+CD,
substituindo CD=AB temos AC=BD, então são equipolentes e iguais. VERDADEIRA.
6) Dois segmentos colineares e de mesmo comprimento podem ter sentidos opostos, nesse caso não são equipolentes. FALSA.
7) Se AB=CD então BA=-AB e DC=-CD, logo BA=DC. VERDADEIRA.
8) AA=0 e BB=0, todo vetor nulo é equipolente a qualquer outro nulo. VERDADEIRA.
9) ABsimCD garante apenas lados opostos paralelos e iguais (paralelogramo), não ângulos retos nem todos os lados iguais. FALSA.
10) Por definição, segmentos equipolentes geram vetores iguais. VERDADEIRA.
Passo 3
Sobre dependência linear e colinearidade:
3) Se vec a e vec b são LD, então vec b=tvec a para algum escalar t, logo são paralelos e têm representantes colineares. VERDADEIRA.
17) Três vetores LD podem pertencer a um mesmo plano sem estarem todos numa mesma reta, portanto não são necessariamente colineares. FALSA.
Passo 4
Vetor nulo e coplanaridade:
4) Se vec a=0, qualquer dois outros vetores com vec a ficam contidos em qualquer plano que contenha esses dois. Logo, sempre coplanares. VERDADEIRA.
Passo 5
Independência linear a partir de pontos e ambiguidades:
5) A condição “A,B,C não alinhados” define um plano, mas o ponto O de origem dos vetores OA,OB,OC pode não pertencer a esse plano, podendo gerar coplanaridade ou não. Portanto a afirmação de LI não se impõe. FALSA.
11) Dois pontos isoladamente não determinam um vetor sem especificar a ordem; eles não representam um mesmo vetor por si só. FALSA.
12) Dados três pontos não colineares A,B,C, os vetores AB e AC não são múltiplos um do outro, logo são LI. VERDADEIRA.
Passo 6
Coplanares de acordo com número de vetores:
13) Quatro pontos do espaço podem perfeitamente pertencer a um mesmo plano, portanto podem ser coplanares. A afirmação de não poder é FALSA.
14) Dois vetores quaisquer definem um plano e pertencem a ele, logo são sempre coplanares. VERDADEIRA.
15) Três vetores LD estão todos contidos no espaço gerado por dois deles, que é um plano, logo são sempre coplanares. VERDADEIRA.
Passo 7
Condição de paralelogramo:
16) Se A,B,C não estão alinhados e AD=BC, então lados AD e BC são iguais e paralelos, caracterizando ABCD como paralelogramo. VERDADEIRA.