1.34 Verifique se os pontos A(1,-1,2), B(0,1,1) e C(2,-1,3) estão alinhados.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos A(1,-1,2), B(0,1,1) e C(2,-1,3) são colineares em R^3. Para isso, vamos usar o critério de que A, B e C são colineares se e somente se os vetores AB e AC forem linearmente dependentes (isto é, proporcionais).

Passo 2

Calculamos os vetores AB e AC subtraindo coordenadas:
AB = B - A = (0-1,;1-(-1),;1-2) = (-1,;2,;-1),
AC = C - A = (2-1,;-1-(-1),;3-2) = (1,;0,;1)

Passo 3

Para serem proporcionais, deveria existir um escalar t tal que
(-1,;2,;-1) = t,(1,;0,;1)
Comparando componentes:
-1 = tcdot 1 implies t = -1,
2 = tcdot 0 implies 2 = 0,
o que é impossível. Logo AB e AC não são proporcionais, isto é, são linearmente independentes.

Resposta

Os pontos A, B e C não estão alinhados.

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