1.17 Se e são vetores LI, mostre que e também são LI.
Passo 1
O enunciado afirma que e são vetores linearmente independentes (LI) e pede para mostrar que os vetores
também são LI. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear desses vetores só pode ser o vetor nulo se todos os coeficientes forem zero.
Passo 2
Considere uma combinação linear genérica desses dois vetores igual ao vetor nulo:
Nosso objetivo é mostrar que isso implica e .
Passo 3
Expanda e agrupe termos em e :
Como e são LI, os coeficientes devem ser nulos:
Passo 4
Resolva o sistema:
a primeira equação dá mu=-2lambda. Substituindo na segunda,
3lambda-6(-2lambda)=3lambda+12lambda=15lambda=0
logo lambda=0 e, então, mu=0. Só a combinação trivial anula os vetores.
Resposta
Os vetores 2a+3b e a-6b são linearmente independentes.