1.17 Se a e b são vetores LI, mostre que 2 a+3 b e a-6 b também são LI.

Passo 1

O enunciado afirma que a e b são vetores linearmente independentes (LI) e pede para mostrar que os vetores
2a+3b e a-6b
também são LI. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear desses vetores só pode ser o vetor nulo se todos os coeficientes forem zero.

Passo 2

Considere uma combinação linear genérica desses dois vetores igual ao vetor nulo:
lambdal(2a+3br) +mul(a-6br) =0
Nosso objetivo é mostrar que isso implica lambda=0 e mu=0.

Passo 3

Expanda e agrupe termos em a e b:
lambda(2a)+lambda(3b) +mu(a)-mu(6b) =(2lambda+mu),a+(3lambda-6mu),b =0
Como a e b são LI, os coeficientes devem ser nulos:
2lambda+mu=0, 3lambda-6mu=0

Passo 4

Resolva o sistema:
a primeira equação dá mu=-2lambda. Substituindo na segunda,
3lambda-6(-2lambda)=3lambda+12lambda=15lambda=0
logo lambda=0 e, então, mu=0. Só a combinação trivial anula os vetores.

Resposta

Os vetores 2a+3b e a-6b são linearmente independentes.

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