( 5,0 pontos) Uma chapa de concreto de espessura 5 mm e de 1 mx 1 m em suas outras dimensões que está em processo de cura possui uma geração inicial de dotq=10^4 W / m^3. Esta chapa é ventilada em seus dois lados por uma corrente de ar com R "=0,02 m^2 K / W. A chapa possui em toda a sua superfície um revestimento que proporciona uma resistência térmica igual a 50^circ C. A placa de concreto está inicialmente a 20^circ C e o ar é mantido a . Obtenha:
a) Se esta taxa de geração se mantiver constante esta placa irá aquecer ou esfriar?
b) A partir do balanço de energia a formulação geral para a evolução da temperatura com o tempo. Considerando que a taxa de geração de calor se mantem constante.
c) Obtenha a temperatura da placa após 10 min . Considerando que a taxa de geração de calor se mantem constante.
d) A quantidade de calor trocada pela placa em 10 min . Considerando que a taxa de geração de calor se mantem constante.
e) A hipótese de capacitância global é válida para este problema.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa de concreto de espessura L=0,005 m e faces 1times1 m (logo área de cada face A=1 m²), com geração interna de calor dot q=10^4 W/m³ e revestimento em cada face de resistência térmica R''=0,02 m²K/W, além de convecção com coeficiente h=10 W/m²K. A temperatura inicial é Ti=50;^circ C e o ar ambiente está a Tinfty=20;^circ C. Vamos modelar como um sistema de capacitância global (lumped capacitance) e usar balanço de energia.

Passo 2

Para (a), calculamos a geração de calor por área de face no instante inicial: q>=n'=dot q,L=10^4times0,005=50 W/m². A resistência térmica total por face é Rtot=R''+1/h=0,02+0,1=0,12 m²K/W, logo a perda de calor por face é (Ti-Tinfty)/Rtot=(50-20)/0,12=250 W/m². Como são duas faces, qloss'=500 W/m², muito maior que 50 W/m², então a placa esfriará.

Passo 3

Para (b), montamos o balanço de energia global: massa térmica m c=rho A L c e geração dot q A L. A equação é
rho A L cdTdt=dot q A L-2AT-TinftyRtot
Dividindo por rho A L c e definindo
theta=T-Tinfty, Tss=Tinfty+dot q L Rtot2, tau=rho c L Rtot2,
obtém-se
dthetadt=-1tau(theta-thetass),
cuja solução geral é
T(t)=Tinfty+(Ti-Tinfty-(Tss-Tinfty))e^-t/tau+(Tss-Tinfty)

Passo 4

Para ©, usamos valores típicos rho=2400 kg/m³ e c=880 J/kgK, daí
tau=2400times880times0,005times0,122approx634 sapprox10,6 min,
Tss=20+10^4times0,005times0,122=23 ^circ C
Logo, em t=600 s,
T(600)=20+(50-23)e^-600/634+3approx20+27times0,388+3approx30,5 ^circ C

Passo 5

Para (d), a energia gerada em 600 s é
Q>=n=dot q A L,t=10^4times1times0,005times600=3,0times10^4 J
A variação de energia interna é
De
Pelo balanço, o calor trocado com o ambiente é
Qout=Q>=n-De

Passo 6

Para (e), verificamos a validade da hipótese de capacitância global via número de Biot efetivo. A condutância superficial equivalente é
heq=1R''+1/h=10,12approx8,33 W/m^2K
O comprimento característico é Lc=L/2=0,0025 m e a condutividade do concreto kapprox1,7 W/mK, então
Bi=heqLck=8,33times0,00251,7approx0,012<0,1,
logo a hipótese é válida.

Resposta

a) A placa irá esfriar ( qloss>> q>=n no estado inicial). b) T(t)=Tinfty+(Ti-Tss)e^-t/tau+(Tss-Tinfty), com Tss=23,^circ C e tauapprox634 s. c) T(10,min)approx30,5,^circ C. d) Qoutapprox2,41times10^5 J. e) Sim, pois Biapprox0,012<0,1, validando o modelo de capacitância global.

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