16 A professora Bete lançou um desafio para sua sala. Colocou na lousa dois pontos: (2; 24), (0; 26) e disse que a coordenada
é 21 . Com essas informações, ajude os alunos da professora Bete a determinar o valor mínimo da função que passa por esses pontos.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos e uma informação sobre a coordenada do vértice e pede o valor mínimo da função que passa por esses pontos. Informações fornecidas:
- Ponto
. - Ponto
. - A coordenada do vértice em
é .
Pergunta: determinar o valor mínimo da função que passa por esses pontos (isto é, o menor valor que a função atinge).
Passo 2
Qual é o tipo de função que usamos (explicação didática): quando uma função tem um único vértice (um ponto de mínimo ou máximo) e é suave como uma parábola, representamos em forma de vértice:
onde:
-
é a abscissa do vértice (coordenada do vértice); -
é a ordenada do vértice (valor de no vértice); -
determina a largura e a concavidade da parábola: se abre para cima (vértice é mínimo), se abre para baixo (vértice é máximo).
Aqui sabemos, então usaremos essa forma para encontrar e .
Passo 3
Escrevo a função com
:
Os únicos parâmetros desconhecidos são
e
. Como temos dois pontos, podemos montar dois sistemas para determinar
e
.
Passo 4
Uso o ponto
. Substituo
e
:
Calculo o quadrado:
. Portanto:
Passo 5
Uso o ponto
. Substituo
e
:
Calculo o quadrado:
. Portanto:
Passo 6
Elimino
subtraindo as equações. Subtraio a segunda da primeira:
No lado direito os
cancelam, ficando:
Logo:
Interpretação:
, então a parábola abre para cima e o vértice é um ponto de mínimo — ótimo, é exatamente o que queremos.
Passo 7
Agora encontro
. Uso, por exemplo, a equação
e substituo
:
Faço a conta em fração:
, então
Se quiser ver em decimal:
.
Passo 8
Escrevo a função completa e explico por que
é o mínimo: como
e
para todo
, o menor valor possível de
é
(quando
). Assim o menor valor de
é
. Substituindo os valores que achamos:
e o valor mínimo, atingido em
, é