16 A professora Bete lançou um desafio para sua sala. Colocou na lousa dois pontos: (2; 24), (0; 26) e disse que a coordenada x_{v} é 21 . Com essas informações, ajude os alunos da professora Bete a determinar o valor mínimo da função que passa por esses pontos.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos e uma informação sobre a coordenada do vértice e pede o valor mínimo da função que passa por esses pontos. Informações fornecidas:
  • Ponto (2,24).
  • Ponto (0,26).
  • A coordenada do vértice em x é x_{v}=21.
    Pergunta: determinar o valor mínimo da função que passa por esses pontos (isto é, o menor valor que a função atinge).

Passo 2

Qual é o tipo de função que usamos (explicação didática): quando uma função tem um único vértice (um ponto de mínimo ou máximo) e é suave como uma parábola, representamos em forma de vértice:
f(x)=a(x-h)^2+k,
onde:
  • h é a abscissa do vértice (coordenada x do vértice);
  • k é a ordenada do vértice (valor de f no vértice);
  • a determina a largura e a concavidade da parábola: se a>0 abre para cima (vértice é mínimo), se a<0 abre para baixo (vértice é máximo).
    Aqui sabemos h=21, então usaremos essa forma para encontrar a e k.

Passo 3

Escrevo a função com h=21:
f(x)=a(x-21)^2+k.
Os únicos parâmetros desconhecidos são a e k. Como temos dois pontos, podemos montar dois sistemas para determinar a e k.

Passo 4

Uso o ponto (0,26). Substituo x=0 e f(0)=26:
26 = a(0-21)^2 + k.
Calculo o quadrado: (0-21)^2 = 21^2 = 441. Portanto:
26 = 441a + k.

Passo 5

Uso o ponto (2,24). Substituo x=2 e f(2)=24:
24 = a(2-21)^2 + k.
Calculo o quadrado: (2-21)^2 = (-19)^2 = 361. Portanto:
24 = 361a + k.

Passo 6

Elimino k subtraindo as equações. Subtraio a segunda da primeira:
26 - 24 = (441a + k) - (361a + k).
No lado direito os k cancelam, ficando:
2 = 441a - 361a = 80a.
Logo:
a = \frac{2}{80} = \frac{1}{40}.
Interpretação: a>0, então a parábola abre para cima e o vértice é um ponto de mínimo — ótimo, é exatamente o que queremos.

Passo 7

Agora encontro k. Uso, por exemplo, a equação 26 = 441a + k e substituo a=\frac{1}{40}:
k = 26 - 441\cdot\frac{1}{40}.
Faço a conta em fração: 26 = \frac{1040}{40}, então
k = \frac{1040}{40} - \frac{441}{40} = \frac{1040-441}{40} = \frac{599}{40}.
Se quiser ver em decimal: \frac{599}{40}=14{,}975.

Passo 8

Escrevo a função completa e explico por que k é o mínimo: como f(x)=a(x-21)^2+k e (x-21)^2\ge 0 para todo x, o menor valor possível de (x-21)^2 é 0 (quando x=21). Assim o menor valor de f é k. Substituindo os valores que achamos:
f(x)=\frac{1}{40}(x-21)^2 + \frac{599}{40},
e o valor mínimo, atingido em x=21, é
f(21)=\frac{599}{40}.

Resposta

\displaystyle \frac{599}{40}

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