Sem construir o gráfico, calcule o valor máximo ou mínimo em cada função quadrática.
f(x)=100-49 x^{2}
f(x)=100-49 x^{2}
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede que calculemos o valor máximo ou mínimo dessa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado: .
O que é pedido: determinar se a função tem máximo ou mínimo e encontrar esse valor (e onde ele ocorre).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que é pedido: determinar se a função tem máximo ou mínimo e encontrar esse valor (e onde ele ocorre).
Passo 2
Escrevemos a função na forma padrão
para identificar os coeficientes. Aqui
Portanto
Passo 3
Mini-aula: interpretação do coeficiente
.
- Se
a parábola abre para cima e a função tem um mínimo. - Se
a parábola abre para baixo e a função tem um máximo.
Como aqui, a função tem um máximo (não um mínimo).
Passo 4
Mini-aula: fórmula do vértice (abscissa). Para uma quadrática
, a abscissa do vértice é
Aplicando os coeficientes
e
:
Então o vértice (onde ocorre o extremo) está em
.
Passo 5
Calculamos o valor da função no vértice para obter o extremo. Substituindo
em
:
Portanto o extremo vale
.
Passo 6
Mini-aula alternativa (completar o quadrado) — método que dá intuição: escrevemos a função destacando o quadrado perfeito.
Repare que
para todo
, e estamos subtraindo
vezes esse termo. O maior valor possível ocorre quando o termo subtraído é
, ou seja quando
. Assim o máximo é
em
.
Passo 7
Mini-aula curta pelo cálculo diferencial (verificação rápida): derivada primeira e segunda.
Zerando para achar críticos:
. Segunda derivada:
logo é um ponto de máximo, confirmando o resultado anterior.
Passo 8
Conclusão: a função tem um único extremo que é um máximo, ocorre em
e o valor máximo é
.
Resposta
Máximo:
em