Sem construir o gráfico, calcule o valor máximo ou mínimo em cada função quadrática.
f(x)=100-49 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=100-49x^{2} e pede que calculemos o valor máximo ou mínimo dessa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado: f(x)=100-49x^{2}.
O que é pedido: determinar se a função tem máximo ou mínimo e encontrar esse valor (e onde ele ocorre).

Passo 2

Escrevemos a função na forma padrão ax^{2}+bx+c para identificar os coeficientes. Aqui
f(x)=100-49x^{2} = (-49)x^{2} + 0\cdot x + 100.
Portanto \;a=-49,\; b=0,\; c=100.

Passo 3

Mini-aula: interpretação do coeficiente a.
  • Se \;a>0\; a parábola abre para cima e a função tem um mínimo.
  • Se \;a<0\; a parábola abre para baixo e a função tem um máximo.
    Como aqui \;a=-49<0\;, a função tem um máximo (não um mínimo).

Passo 4

Mini-aula: fórmula do vértice (abscissa). Para uma quadrática \;ax^{2}+bx+c\;, a abscissa do vértice é
x_v = -\frac{b}{2a}.
Aplicando os coeficientes \;a=-49 e \;b=0:
x_v = -\frac{0}{2\cdot(-49)} = 0.
Então o vértice (onde ocorre o extremo) está em x=0.

Passo 5

Calculamos o valor da função no vértice para obter o extremo. Substituindo x=0 em f(x):
f(0)=100-49\cdot 0^{2}=100.
Portanto o extremo vale 100.

Passo 6

Mini-aula alternativa (completar o quadrado) — método que dá intuição: escrevemos a função destacando o quadrado perfeito.
f(x)=100-49x^{2}=100-49\bigl(x-0\bigr)^{2}.
Repare que \bigl(x-0\bigr)^{2}\ge 0 para todo x, e estamos subtraindo 49 vezes esse termo. O maior valor possível ocorre quando o termo subtraído é 0, ou seja quando x=0. Assim o máximo é 100 em x=0.

Passo 7

Mini-aula curta pelo cálculo diferencial (verificação rápida): derivada primeira e segunda.
f'(x) = -98x.
Zerando para achar críticos: f'(x)=0 \Rightarrow x=0. Segunda derivada:
f''(x)=-98<0,
logo é um ponto de máximo, confirmando o resultado anterior.

Passo 8

Conclusão: a função tem um único extremo que é um máximo, ocorre em x=0 e o valor máximo é 100.

Resposta

Máximo: 100 em x=0

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