16 Seja T o operador linear definido em C^3 por
T(x, y, z)=(2 x+(1-i) y,(3+2 i) x-4 i z, 2 i x+(4-3 i) y-3 z)
Encontre T^*(x, y, z).

Passo 1

O exercício pede para achar o adjunto T^* de um operador linear Tcolon C^3toC^3. O conteúdo envolve a definição de operador adjunto em espaços com produto interno euclidiano (hermitiano) e que, na base canônica, corresponde a tomar a matriz de T e calcular sua transposta conjugada.

Passo 2

Primeiro, representamos T por sua matriz A na base canônica. Como
T(x,y,z)= 2x+(1-i)y (3+2i)x-4iz 2ix+(4-3i)y-3z ,
temos
A= 2 & 1 - i & 0 3 + 2i & 0 & -4i 2i & 4 - 3i & -3

Passo 3

Em seguida calculamos a matriz conjugada overline A e depois sua transposta:
overline A= 2 & 1 + i & 0 3 - 2i & 0 & 4i -2i & 4 + 3i & -3 , A^*=overline A^!T= 2 & 3 - 2i & -2i 1 + i & 0 & 4 + 3i 0 & 4i & -3

Passo 4

Por fim, expressamos T^* agindo em (x,y,z) como a multiplicação da matriz A^* pelo vetor coluna. Assim,
T^*(x,y,z)= 2x+(3-2i)y-2iz (1+i)x+(4+3i)z 4iy-3z

Resposta

T^*(x,y,z)=\bigl(2x+(3-2i)y-2iz,;(1+i)x+(4+3i)z,;4iy-3z\bigr)

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