Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
. Justifique as suas respostas.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: temos o conjunto
D = { (x₁, x₂, …, xₙ) ∈ ℝⁿ ∣ x₁ ≥ x₂ ≥ ⋯ ≥ xₙ }.
O conteúdo é subespaço vetorial de ℝⁿ e, para decidir se D é subespaço, vamos usar a definição: verificar se D contém o vetor zero, é fechado sob soma de vetores e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, lembrando a teoria de subespaço vetorial: um subconjunto V de ℝⁿ é subespaço se, e somente se,
- o vetor zero está em V,
- para quaisquer u, v em V, u + v também está em V,
- para qualquer λ em ℝ e qualquer u em V, λu está em V.
Passo 3
Verificação do vetor zero: o vetor zero é (0,0,…,0). Nele temos 0 ≥ 0 ≥ ⋯ ≥ 0, então claramente (0,0,…,0) ∈ D. Logo, o item 1) está satisfeito.
Passo 4
Fechamento sob soma: sejam x = (x₁,…,xₙ) e y = (y₁,…,yₙ) em D, isto é, x₁ ≥ x₂ ≥ ⋯ ≥ xₙ e y₁ ≥ y₂ ≥ ⋯ ≥ yₙ. Então, para cada i,
x_i + y_i ≥ x_{i+1} + y_{i+1},
pois x_i ≥ x_{i+1} e y_i ≥ y_{i+1}. Assim x + y satisfaz a mesma cadeia de desigualdades e pertence a D. Logo, o item 2) também é satisfeito.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação por escalar: escolhemos, por exemplo, λ = −1 e o vetor x = (1,0,0,…,0) ∈ D, já que 1 ≥ 0 ≥ ⋯ ≥ 0. Mas
−1 · x = (−1,0,0,…,0)
não satisfaz −1 ≥ 0, logo (−1,0,…,0) ∉ D. Ou seja, D não é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Como falhou o item 3) da definição de subespaço, concluímos que D não é subespaço vetorial de ℝⁿ.
Resposta
D não é subespaço vetorial de ℝⁿ, pois não é fechado sob multiplicação por escalar.