Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^n. Justifique as suas respostas.

Passo 1

A questão pede pra gente ver se o conjunto
C=(x1,x2,dots,xn)in R^nmid x1+cdots+xn=0
é subespaço de R^n. Para isso, a gente vai usar o critério clássico: 1) verificar que o vetor zero está em C, 2) fechamento em soma e 3) fechamento em multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, o vetor zero em R^n é (0,0,dots,0). A soma de suas coordenadas é
0+0+cdots+0=0
logo (0,0,dots,0) satisfaz a condição e pertence a C.

Passo 3

Agora, pegue dois vetores quaisquer x=(x1,dots,xn) e y=(y1,dots,yn) em C. Isso significa que
x1+cdots+xn=0 e y1+cdots+yn=0
Se a gente somar x+y, a soma das coordenadas de x+y é
(x1+y1)+cdots+(xn+yn)=(x1+cdots+xn)+(y1+cdots+yn)=0+0=0,
então x+yin C.

Passo 4

Por fim, pegue um escalar alphain R e x=(x1,dots,xn)in C. A soma das coordenadas de alpha x é
alpha x1+cdots+alpha xn=alpha(x1+cdots+xn)=alphacdot0=0,
portanto alpha xin C.

Resposta

Sim. O conjunto C é subespaço vetorial de R^n.

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