16- Seja
. Calcule
, onde
é uma curva suave desde o ponto
até o ponto
.
(a) 8
(b) 12
(c) 16
(d) 20
(e) NRA
(a) 8
(b) 12
(c) 16
(d) 20
(e) NRA
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
onde
é uma curva suave que vai do ponto
até o ponto
. As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
Passo 2
Vamos entender o que significa integrar
ao longo de uma curva. Seja uma parametrização arbitrária da curva
:
com
e
. Defina a função composta
Pelo teorema da cadeia (que diz como derivar uma função composta de várias variáveis), temos
Mas o lado direito é exatamente o produto escalar do gradiente com a derivada da parametrização:
Integrando em
de
a
obtemos
Pelo teorema fundamental do cálculo, o lado esquerdo é
, ou seja:
Em palavras: a integral de linha do gradiente de uma função ao longo de qualquer curva é igual à diferença dos valores da função nos pontos final e inicial. Isso vale para qualquer curva suave que conecte os mesmos pontos.
Passo 3
Agora calculamos o gradiente explicitamente (apesar de não precisarmos da parametrização concreta, é bom ver os parciais):
logo
Passo 4
Usando o resultado do Passo 2 (teorema do gradiente), a integral pedida é simplesmente a diferença de
entre o ponto final
e o ponto inicial
:
Passo 5
Calculamos os valores:
Portanto
Passo 6
A integral vale
. Comparando com as alternativas fornecidas
, o valor
não aparece, logo a alternativa correta é a opção “NRA” (nenhuma das respostas acima).
Resposta
(e) NRA