16- Seja \varphi(x, y)=x y^{2}. Calcule \int_{C} \nabla \varphi \bullet d r, onde C é uma curva suave desde o ponto (2,1) até o ponto (3,2).
(a) 8
(b) 12
(c) 16
(d) 20
(e) NRA

Passo 1

O enunciado dá a função \varphi(x,y)=x y^{2} e pede para calcular
\int_{C} \nabla \varphi \bullet d r,
onde C é uma curva suave que vai do ponto (2,1) até o ponto (3,2). As alternativas são:
(a) 8
(b) 12
(c) 16
(d) 20
(e) NRA

Passo 2

Vamos entender o que significa integrar \nabla\varphi ao longo de uma curva. Seja uma parametrização arbitrária da curva C:
\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)),\qquad t\in[a,b],
com \mathbf{r}(a)=(2,1) e \mathbf{r}(b)=(3,2). Defina a função composta
g(t)=\varphi\big(x(t),y(t)\big).
Pelo teorema da cadeia (que diz como derivar uma função composta de várias variáveis), temos
g'(t)=\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x(t),y(t))\,x'(t)+\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x(t),y(t))\,y'(t).
Mas o lado direito é exatamente o produto escalar do gradiente com a derivada da parametrização:
g'(t)=\nabla\varphi\big(x(t),y(t)\big)\bullet \mathbf{r}'(t).
Integrando em t de a a b obtemos
\int_{a}^{b} g'(t)\,dt = \int_{a}^{b} \nabla\varphi\big(x(t),y(t)\big)\bullet \mathbf{r}'(t)\,dt.
Pelo teorema fundamental do cálculo, o lado esquerdo é g(b)-g(a), ou seja:
\varphi\big(\mathbf{r}(b)\big)-\varphi\big(\mathbf{r}(a)\big) = \int_{C} \nabla\varphi\bullet d\mathbf{r}.
Em palavras: a integral de linha do gradiente de uma função ao longo de qualquer curva é igual à diferença dos valores da função nos pontos final e inicial. Isso vale para qualquer curva suave que conecte os mesmos pontos.

Passo 3

Agora calculamos o gradiente explicitamente (apesar de não precisarmos da parametrização concreta, é bom ver os parciais):
\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y)=y^{2},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y)=2xy,
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\boxed{\nabla\varphi(x,y)=(y^{2},\,2xy).}

Passo 4

Usando o resultado do Passo 2 (teorema do gradiente), a integral pedida é simplesmente a diferença de \varphi entre o ponto final (3,2) e o ponto inicial (2,1):
\int_{C}\nabla\varphi\bullet d\mathbf{r}=\varphi(3,2)-\varphi(2,1).

Passo 5

Calculamos os valores:
\varphi(3,2)=3\cdot 2^{2}=3\cdot 4=12,
\varphi(2,1)=2\cdot 1^{2}=2\cdot 1=2.
Portanto
\int_{C}\nabla\varphi\bullet d\mathbf{r}=12-2=10.

Passo 6

A integral vale 10. Comparando com as alternativas fornecidas (8,12,16,20,\text{NRA}), o valor 10 não aparece, logo a alternativa correta é a opção “NRA” (nenhuma das respostas acima).

Resposta

(e) NRA

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