8- Seja R a região do primeiro quadrante limitada por y=0, y=x e x^{2}+y^{2}=1. Qual das integrais iteradas abaixo corresponde à \iint_{R} x y d A ?
(a) \int_{0}^{\pi / 4} \int_{0}^{1} r^{3} \operatorname{sen} 2 \theta d r d \theta
(b) \int_{0}^{\pi / 4} \int_{0}^{1} r^{2} \operatorname{sen} 2 \theta d r d \theta
(c) \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} r^{3} \cos 2 \theta d r d \theta
(d) \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} r^{2} \cos 2 \theta d r d \theta
(e) NRA

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das integrais iteradas dadas corresponde à
\iint_{R} x y\,dA,
onde R é a região do primeiro quadrante limitada por y=0, y=x e x^{2}+y^{2}=1.
Informações dadas e objetivos claros:
  • Região R: primeiro quadrante, limitada abaixo por y=0, acima pela reta y=x e externamente pela circunferência x^{2}+y^{2}=1.
  • Queremos escrever a integral dupla de x y sobre R como uma integral iterada (em coordenadas polares, pelas opções apresentadas).
  • As opções usam coordenadas polares com variáveis r,\theta e funções trigonométricas como \sin 2\theta ou \cos 2\theta. Vou testar qual opção corresponde exatamente à expressão correta em polares.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares e quais são as fórmulas básicas? (rico em passo-a-passo)
  • Em coordenadas polares: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • O elemento de área em polares é dA = r\,dr\,d\theta.Explicação intuitiva: para pequenos incrementos \Delta r e \Delta\theta, a área do “pequeno setor” é aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta, por isso aparece o fator r (Jacobiano da mudança de variáveis).
  • Sempre que converter uma integral dupla para polares, substituir x,y por r\cos\theta,r\sin\theta e multiplicar por r (o dA).

Passo 3

Determinar os limites de integração em polares para a região R.
  • A curva x^{2}+y^{2}=1 vira r=1.
  • A reta y=0 corresponde a \theta=0.
  • A reta y=x corresponde a \theta=\pi/4 (no primeiro quadrante).
  • Como estamos no primeiro quadrante entre as retas \theta=0 e \theta=\pi/4, r varia de 0 até a circunferência r=1.
    Portanto os limites são
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Converter o integrando x y\,dA para polares, passo a passo.
  • Primeiro x y = (r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^{2}\cos\theta\sin\theta.
  • Multiplicando por dA=r\,dr\,d\theta obtém-se x y\,dA = r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
  • Usar a identidade trigonométrica \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin 2\theta. Assim r^{3}\cos\theta\sin\theta = \frac{1}{2}r^{3}\sin 2\theta.
  • Logo a integral correta em polares é \iint_{R} x y\,dA = \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \frac{1}{2}r^{3}\sin 2\theta\,dr\,d\theta.

Passo 5

Comparar a integral correta com as opções fornecidas.
  • A integral correta tem fator multiplicativo \tfrac{1}{2} e integrando \,r^{3}\sin 2\theta\,.
  • Agora examinar cada opção:
    • (a) \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} r^{3}\sin 2\theta\,dr\,d\theta. Esta opção é exatamente o dobro da integral correta (não tem o fator \tfrac{1}{2}).
    • (b) \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} r^{2}\sin 2\theta\,dr\,d\theta. Aqui o poder de r está errado (deveria ser r^{3}).
    • (c) \displaystyle \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos 2\theta\,dr\,d\theta. Limite em \theta está errado (vai de 0 a \pi, não corresponde à região) e usa \cos 2\theta em vez de \sin 2\theta.
    • (d) \displaystyle \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\cos 2\theta\,dr\,d\theta. Tanto o limite de \theta quanto o poder de r e a função trigonométrica estão incorretos.
  • Conclusão: nenhuma das opções (a)–(d) coincide exatamente com a integral correta porque falta o fator \tfrac{1}{2} em (a) e as demais estão erradas por limites ou potências de r.

Passo 6

Verificação numérica rápida para consolidar a diferença (opcional mas útil para detectar erros).
  • Calcular a integral correta: \iint_{R} x y\,dA = \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \frac{1}{2}r^{3}\sin 2\theta\,dr\,d\theta.Primeiro a integral em r: \int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \frac{1}{4}.Depois em \theta: \int_{0}^{\pi/4}\sin 2\theta\,d\theta = \left[-\tfrac{1}{2}\cos 2\theta\right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{2}.Multiplicando tudo e lembrando do \tfrac{1}{2}: \iint_{R} x y\,dA = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16}.
  • Agora a opção (a) sem o fator \tfrac{1}{2} daria \dfrac{1}{8}, diferente de \dfrac{1}{16}. Portanto (a) está claramente incorreta numericamente.

Resposta

(e)

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