8- Seja
a região do primeiro quadrante limitada por
e
. Qual das integrais iteradas abaixo corresponde à
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual das integrais iteradas dadas corresponde à
onde
é a região do primeiro quadrante limitada por
,
e
.
Informações dadas e objetivos claros:
- Região
: primeiro quadrante, limitada abaixo por , acima pela reta e externamente pela circunferência . - Queremos escrever a integral dupla de
sobre como uma integral iterada (em coordenadas polares, pelas opções apresentadas). - As opções usam coordenadas polares com variáveis
e funções trigonométricas como ou . Vou testar qual opção corresponde exatamente à expressão correta em polares.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares e quais são as fórmulas básicas? (rico em passo-a-passo)
- Em coordenadas polares:
- O elemento de área em polares é
Explicação intuitiva: para pequenos incrementos e , a área do “pequeno setor” é aproximadamente , por isso aparece o fator (Jacobiano da mudança de variáveis). - Sempre que converter uma integral dupla para polares, substituir
por e multiplicar por (o ).
Passo 3
Determinar os limites de integração em polares para a região
.
- A curva
vira . - A reta
corresponde a . - A reta
corresponde a (no primeiro quadrante). - Como estamos no primeiro quadrante entre as retas
e , varia de até a circunferência .
Portanto os limites são
Passo 4
Converter o integrando
para polares, passo a passo.
- Primeiro
. - Multiplicando por
obtém-se - Usar a identidade trigonométrica
. Assim - Logo a integral correta em polares é
Passo 5
Comparar a integral correta com as opções fornecidas.
- A integral correta tem fator multiplicativo
e integrando . - Agora examinar cada opção:
- (a)
. Esta opção é exatamente o dobro da integral correta (não tem o fator ). - (b)
. Aqui o poder de está errado (deveria ser ). - (c)
. Limite em está errado (vai de a , não corresponde à região) e usa em vez de . - (d)
. Tanto o limite de quanto o poder de e a função trigonométrica estão incorretos.
- (a)
- Conclusão: nenhuma das opções (a)–(d) coincide exatamente com a integral correta porque falta o fator
em (a) e as demais estão erradas por limites ou potências de .
Passo 6
Verificação numérica rápida para consolidar a diferença (opcional mas útil para detectar erros).
- Calcular a integral correta:
Primeiro a integral em : Depois em : Multiplicando tudo e lembrando do : - Agora a opção (a) sem o fator
daria , diferente de . Portanto (a) está claramente incorreta numericamente.
Resposta
(e)