Qual valor de \iint_{R} \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} d A, onde R é a região do primeiro quadrante contida no círculo x^{2}+y^{2}=9 ?
(a) \frac{3 \pi}{2}
(b) \frac{5 \pi}{2}
(c) \frac{7 \pi}{2}
(d) \frac{9 \pi}{2}
(e) NRA

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\, dA,
onde R é a região do primeiro quadrante contida no círculo x^{2}+y^{2}=9. Informação importante extraída do enunciado:
  • O círculo tem raio 3, pois x^{2}+y^{2}=9 implica raio r=3.
  • “Primeiro quadrante” significa que x\ge0 e y\ge0, portanto o ângulo \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
  • A integral pede o valor numérico da integral sobre o disco de raio 3 limitado ao primeiro quadrante.
O que devemos responder: o valor numérico da integral (comparar com as alternativas fornecidas).

Passo 2

Escolha de coordenadas e mudança de variável (explicação didática).
  • Para regiões circulares é muito conveniente usar coordenadas polares porque as curvas x^{2}+y^{2}= constante ficam simples.
  • A transformação para coordenadas polares é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. Nessa transformação, o elemento de área se transforma como
dA = r\, dr\, d\theta.
Isto vem do Jacobiano da transformação; intuitivamente uma pequena área em polares tem lado \Delta r e arco \approx r\Delta\theta, então a área é r\,\Delta r\,\Delta\theta.
  • A integranda \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} em polares fica \sqrt{9-r^{2}}, porque x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • Limites na região R (primeiro quadrante e dentro do círculo de raio 3):
0\le \theta \le \tfrac{\pi}{2},\qquad 0\le r\le 3.
Montando a integral em polares:
\iint_{R} \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\, dA = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} \sqrt{9-r^{2}}\; r\, dr\, d\theta.

Passo 3

Avaliação da integral interna em r. Vou calcular
I_r=\int_{0}^{3} r\sqrt{9-r^{2}}\, dr.
Usa-se a substituição simples para eliminar r\,dr. Seja
u=9-r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=-2r\,dr.
Assim r\,dr = -\tfrac{1}{2}\,du. Quando r=0 temos u=9; quando r=3 temos u=0. Portanto
I_r = \int_{r=0}^{r=3} r(9-r^{2})^{1/2}\,dr = -\tfrac{1}{2}\int_{u=9}^{u=0} u^{1/2}\, du = \tfrac{1}{2}\int_{u=0}^{u=9} u^{1/2}\, du.
Agora integra-se potência:
\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Logo
I_r = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{0}^{9} = \tfrac{1}{3}\big(9^{3/2}-0\big).
Calcule 9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27. Portanto
I_r = \tfrac{1}{3}\cdot 27 = 9.

Passo 4

Agora integra-se em \theta. A integral total vale
\int_{0}^{\pi/2}\Big(I_r\Big)\, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 9\, d\theta.
Como 9 é constante em \theta,
\int_{0}^{\pi/2} 9\, d\theta = 9\cdot\left(\tfrac{\pi}{2}-0\right) = \tfrac{9\pi}{2}.
Como checagem rápida: a integranda \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} é a altura do hemisfério de raio 3. A integral sobre todo o disco daria o volume do hemisfério; aqui estamos integrando apenas o quarto do disco (primeiro quadrante), então é um quarto do volume do hemisfério. O volume do hemisfério de raio 3 é \tfrac{2}{3}\pi 3^{3}=\tfrac{2}{3}\pi\cdot27=18\pi; um quarto disso é \tfrac{18\pi}{4}=\tfrac{9\pi}{2}, que confirma o resultado.

Resposta

(d) \displaystyle \frac{9\pi}{2}

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