Qual valor de \iint_{R} \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} d A, onde R é a região do primeiro quadrante contida no círculo x^{2}+y^{2}=9 ?
(a) \frac{3 \pi}{2}
(b) \frac{5 \pi}{2}
(c) \frac{7 \pi}{2}
(d) \frac{9 \pi}{2}
(e) NRA
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\, dA,
onde R é a região do primeiro quadrante contida no círculo x^{2}+y^{2}=9. Informação importante extraída do enunciado:
O círculo tem raio 3, pois x^{2}+y^{2}=9 implica raio r=3.
“Primeiro quadrante” significa que x\ge0 e y\ge0, portanto o ângulo \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
A integral pede o valor numérico da integral sobre o disco de raio 3 limitado ao primeiro quadrante.
O que devemos responder: o valor numérico da integral (comparar com as alternativas fornecidas).
Passo 2
Escolha de coordenadas e mudança de variável (explicação didática).
Para regiões circulares é muito conveniente usar coordenadas polares porque as curvas x^{2}+y^{2}= constante ficam simples.
A transformação para coordenadas polares é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. Nessa transformação, o elemento de área se transforma como
dA = r\, dr\, d\theta.
Isto vem do Jacobiano da transformação; intuitivamente uma pequena área em polares tem lado \Delta r e arco \approx r\Delta\theta, então a área é r\,\Delta r\,\Delta\theta.
A integranda \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} em polares fica \sqrt{9-r^{2}}, porque x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Limites na região R (primeiro quadrante e dentro do círculo de raio 3):
Como checagem rápida: a integranda \sqrt{9-x^{2}-y^{2}} é a altura do hemisfério de raio 3. A integral sobre todo o disco daria o volume do hemisfério; aqui estamos integrando apenas o quarto do disco (primeiro quadrante), então é um quarto do volume do hemisfério. O volume do hemisfério de raio 3 é \tfrac{2}{3}\pi 3^{3}=\tfrac{2}{3}\pi\cdot27=18\pi; um quarto disso é \tfrac{18\pi}{4}=\tfrac{9\pi}{2}, que confirma o resultado.