17- Seja
o vetor posição do espaço bidimensional e
. Calcule
, onde
é uma curva suave desde o ponto
até o ponto
.
(a) 0
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
(a) 0
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pedido: Calcular a integral de linha
, onde é uma curva suave que vai do ponto até o ponto . - Dados:
- O vetor posição no plano é
. - O campo vetorial é
. - Os pontos inicial e final da curva são:
- Ponto inicial
. - Ponto final
.
- Ponto inicial
- O vetor posição no plano é
- Observação importante: a curva
só precisa ser suave e ligar a ; o enunciado não especifica um caminho particular.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicação didática do conceito que precisamos aplicar).
- Quando um campo vetorial
pode ser escrito como o gradiente de uma função , isto é , então a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores de nesses pontos (Teorema Fundamental para integrais de linha). Em fórmulas: para qualquer curva suave de a , desde que seja gradiente numa região que contenha o caminho. - Portanto, o plano de ataque é: encontrar uma função
tal que , verificar rapidamente que isso vale fora da origem, e então usar a diferença .
Passo 3
Procurando o potencial
. Vamos testar a função
Agora calculamos as derivadas parciais para ver se
.
- Cálculo de
: aplicar a regra da cadeia. Escrevendo em termos da norma , isso é - Cálculo de
é análogo: - Portanto
Conclusão:
é um potencial para
em toda a região que não contém a origem (a função e suas derivadas são bem definidas para
). Como nossos pontos
e
estão longe da origem, podemos usar o teorema.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental das integrais de linha (para campos gradiente):
Calculemos
nos pontos
e
.
- Primeiro as normas:
- Agora os valores de
: - Diferença:
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida: o resultado é positivo e tem a forma
. Faz sentido porque o potencial escolhido
é negativo e mais próximo de zero no ponto mais distante do origem, então
(menos negativo), gerando integral positiva.
Resposta
(c)