17- Seja \mathbf{r} o vetor posição do espaço bidimensional e \mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{1}{\|\mathbf{r}\|^{3}} \mathbf{r}. Calcule \int_{C} \mathbf{F} \bullet d r, onde C é uma curva suave desde o ponto (2,2) até o ponto (4,4).
(a) 0
(b) \frac{1}{6 \sqrt{2}}
(c) \frac{1}{4 \sqrt{2}}
(d) \frac{1}{2 \sqrt{2}}
(e) NRA

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pedido: Calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, onde C é uma curva suave que vai do ponto (2,2) até o ponto (4,4).
  • Dados:
    • O vetor posição no plano é \mathbf{r}=(x,y).
    • O campo vetorial é \displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{1}{\|\mathbf{r}\|^{3}}\,\mathbf{r}.
    • Os pontos inicial e final da curva são:
      • Ponto inicial A=(2,2).
      • Ponto final B=(4,4).
  • Observação importante: a curva C só precisa ser suave e ligar A a B; o enunciado não especifica um caminho particular.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicação didática do conceito que precisamos aplicar).
  • Quando um campo vetorial \mathbf{F} pode ser escrito como o gradiente de uma função \varphi, isto é \mathbf{F}=\nabla\varphi, então a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores de \varphi nesses pontos (Teorema Fundamental para integrais de linha). Em fórmulas: \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A),para qualquer curva C suave de A a B, desde que \mathbf{F} seja gradiente numa região que contenha o caminho.
  • Portanto, o plano de ataque é: encontrar uma função \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, verificar rapidamente que isso vale fora da origem, e então usar a diferença \varphi(B)-\varphi(A).

Passo 3

Procurando o potencial \varphi. Vamos testar a função
\varphi(x,y)=-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = -(x^{2}+y^{2})^{-1/2}.
Agora calculamos as derivadas parciais para ver se \nabla\varphi=\mathbf{F}.
  • Cálculo de \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}: aplicar a regra da cadeia. \dfrac{\partial\varphi}{\partial x} = -\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\cdot 2x = x\,(x^{2}+y^{2})^{-3/2}.Escrevendo em termos da norma \|\mathbf{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, isso é \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{x}{\|\mathbf{r}\|^{3}}.
  • Cálculo de \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} é análogo: \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{y}{\|\mathbf{r}\|^{3}}.
  • Portanto \nabla\varphi=\left(\frac{x}{\|\mathbf{r}\|^{3}},\frac{y}{\|\mathbf{r}\|^{3}}\right)=\frac{1}{\|\mathbf{r}\|^{3}}\mathbf{r}=\mathbf{F}(\mathbf{r}).
Conclusão: \varphi(x,y)=-\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} é um potencial para \mathbf{F} em toda a região que não contém a origem (a função e suas derivadas são bem definidas para \|\mathbf{r}\|\neq0). Como nossos pontos A e B estão longe da origem, podemos usar o teorema.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental das integrais de linha (para campos gradiente):
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Calculemos \varphi nos pontos A=(2,2) e B=(4,4).
  • Primeiro as normas: \|\,(2,2)\,\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2},
\|\,(4,4)\,\|=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.
  • Agora os valores de \varphi: \varphi(A)=-\frac{1}{2\sqrt{2}},\qquad \varphi(B)=-\frac{1}{4\sqrt{2}}.
  • Diferença: \varphi(B)-\varphi(A)=-\frac{1}{4\sqrt{2}}-\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) =-\frac{1}{4\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}} =\frac{1}{4\sqrt{2}}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: o resultado é positivo e tem a forma \dfrac{1}{4\sqrt{2}}. Faz sentido porque o potencial escolhido \varphi é negativo e mais próximo de zero no ponto mais distante do origem, então \varphi(B)>\varphi(A) (menos negativo), gerando integral positiva.

Resposta

(c) \frac{1}{4 \sqrt{2}}

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