5.16: Sejam a projeção ortogonal na reta gerada por e a reflexão em torno desta mesma reta. Calcule

Passo 1

O enunciado define a projeção ortogonal Pcolon R^4 to R^4 sobre a reta gerada pelo vetor
v = (1,0,-1,0)
Para qualquer xinR^4, com x=(x,y,z,w), vamos usar a fórmula da projeção em v:
P(x) = lang<= x,vrang<=lang<= v,vrang<=,v

Passo 2

Calculamos primeiro o produto interno de v com ele mesmo e de x com v.
lang<= v,vrang<= = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2,
lang<= x,vrang<= = xcdot1 + ycdot0 + zcdot(-1) + wcdot0 = x - z

Passo 3

Substituindo esses valores na fórmula da projeção, obtemos
P(x,y,z,w) = x - z2,(1,0,-1,0) = l(x - z2,,0,,-x - z2,,0r)

Resposta

P(x,y,z,w)=l(tfracx-z2,,0,,-tfracx-z2,,0r)

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