5.16: Sejam a projeção ortogonal na reta gerada por e a reflexão em torno desta mesma reta. Calcule
.

Passo 1

O enunciado define em R^4 a projeção ortogonal P na reta gerada por (1,0,-1,0) e a reflexão R em torno dessa mesma reta. O conteúdo envolve:
– cálculo do vetor unitário na direção (1,0,-1,0);
– uso da fórmula da projeção ortogonal
P(v) = (vcdot u),u
para u unitário;
– e da relação entre reflexão e projeção
R(v)=2,P(v)-v

Passo 2

Encontrar o vetor unitário
u = 1| (1,0,-1,0)|(1,0,-1,0) = 1raiz1^2+(-1)^2,(1,0,-1,0) = 1raiz2,(1,0,-1,0)

Passo 3

Para v=(x,y,z,w), o produto interno com u é
vcdot u = xcdot1raiz2 + zcdotl(-1raiz2r) = x-zraiz2
Logo
P(v) = (vcdot u),u = x-zraiz2;1raiz2,(1,0,-1,0) = x-z2,(1,0,-1,0),
isto é,
P(x,y,z,w)=l(x-z2,,0,,-x-z2,,0r)

Passo 4

A reflexão é dada por
R(v)=2,P(v)-v
Substituindo P(x,y,z,w) e v=(x,y,z,w):
2,P(x,y,z,w) = l(x-z,,0,,-(x-z),,0r),
então
R(x,y,z,w) = l(x-z,,0,,-(x-z),,0r)- (x,y,z,w) = (-z,,-y,,-x,,-w)

Resposta

R(x,y,z,w)=(-z,,-y,,-x,,-w)

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