9.16 Um sistema LIT causal S com resposta ao impulso h(t) tem sua entrada x(t) e saída y(t) relacionadas por meio de uma equação diferencial a coeficientes constantes da forma
\frac{d^{3} y(t)}{d t^{3}}+(1+\alpha) \frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+\alpha(\alpha+1) \frac{d y(t)}{d t}+\alpha^{2} y(t)=x(t).
(a) Se
g(t)=\frac{d h(t)}{d t}+h(t),
quantos polos G(s) tem?
(b) Para que valores reais do parâmetro \alpha podemos garantir que S é estável?

Passo 1

O enunciado dá o sistema LTI causal com entrada x(t) e saída y(t) obedecendo à equação diferencial
\frac{d^{3} y}{d t^{3}}+(1+\alpha)\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\alpha(\alpha+1)\frac{d y}{d t}+\alpha^{2}y = x(t).
Estamos interessados na resposta ao impulso h(t), cujo transformada de Laplace é
H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^{3}+(1+\alpha)s^{2}+\alpha(\alpha+1)s+\alpha^{2}}.
Definimos
g(t) = \frac{d h(t)}{d t} + h(t),
e queremos (a) o número de polos de G(s), (b) para quais valores reais de \alpha o sistema é estável.

Passo 2

Em Laplace, a derivada vira multiplicação por s (com condições iniciais nulas, por causalidade), logo
G(s) = \mathcal{L}\{g(t)\} = \mathcal{L}\{h'(t)\} + \mathcal{L}\{h(t)\} = s\,H(s) + H(s) = (s+1)\,H(s).
Substituindo H(s), obtemos
G(s) = \frac{s+1}{s^{3}+(1+\alpha)s^{2}+\alpha(\alpha+1)s+\alpha^{2}}.

Passo 3

Observe que o polinômio do denominador fatoriza sempre como
s^{3}+(1+\alpha)s^{2}+\alpha(\alpha+1)s+\alpha^{2} = (s+1)\bigl(s^{2}+\alpha s + \alpha^{2}\bigr).
Logo há cancelamento do fator (s+1) com o numerador de G(s), resultando em
G(s) = \frac{1}{s^{2} + \alpha s + \alpha^{2}}.

Passo 4

Depois do cancelamento, G(s) tem exatamente os polos que são as raízes de s^{2} + \alpha s + \alpha^{2}=0. Portanto
(a) G(s) tem 2 polos (os da equação quadrática).

Passo 5

Para (b), o sistema S é estável se todos os polos de H(s) estiverem no semiplano esquerdo. Como
H(s)\) tem polos em \(s=-1\) e nas raízes de \(s^{2}+\alpha s+\alpha^{2}=0,
o polo s=-1 já está no LHP. As raízes da quadrática têm soma -\alpha e produto \alpha^{2}. Pelo critério de sinais (ou Routh–Hurwitz para 2º grau), elas ficam no LHP se e somente se ambos os coeficientes \alpha>0 e \alpha^{2}>0. A condição não-trivial é
\alpha>0.

Resposta

(a) 2
(b) \alpha>0

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