9.16 Um sistema LIT causal
com resposta ao impulso
tem sua entrada
e saída
relacionadas por meio de uma equação diferencial a coeficientes constantes da forma
.
(a) Se
quantos polos
tem?
(b) Para que valores reais do parâmetro
podemos garantir que
é estável?
(a) Se
(b) Para que valores reais do parâmetro
Passo 1
O enunciado dá o sistema LTI causal com entrada
e saída
obedecendo à equação diferencial
Estamos interessados na resposta ao impulso
, cujo transformada de Laplace é
Definimos
e queremos (a) o número de polos de
, (b) para quais valores reais de
o sistema é estável.
Passo 2
Em Laplace, a derivada vira multiplicação por
(com condições iniciais nulas, por causalidade), logo
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Observe que o polinômio do denominador fatoriza sempre como
Logo há cancelamento do fator
com o numerador de
, resultando em
Passo 4
Depois do cancelamento,
tem exatamente os polos que são as raízes de
. Portanto
(a)
tem
polos (os da equação quadrática).
Passo 5
Para (b), o sistema
é estável se todos os polos de
estiverem no semiplano esquerdo. Como
o polo
já está no LHP. As raízes da quadrática têm soma
e produto
. Pelo critério de sinais (ou Routh–Hurwitz para
º grau), elas ficam no LHP se e somente se ambos os coeficientes
e
. A condição não-trivial é
Resposta
(a)
(b)
(b)