9.2 Considere o sinal
x(t)=e^{-5 t} u(t-1)
e a sua transformada de Laplace X(s).
(a) Usando a Equação 9.3, calcule X(s) e especifique sua região de convergência.
(b) Determine os valores dos números finitos A e t_{0} tais que a transformada de Laplace G(s) de
g(t)=A e^{-5 t} u\left(-t-t_{0}\right)
tenha a mesma forma algébrica de X(s). Qual é a região de convergência correspondente a G(s) ?

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
x(t)=e^{-5t}\,u(t-1)
usando a propriedade de deslocamento no tempo, e sua região de convergência. Depois, para
g(t)=A\,e^{-5t}\,u(-t-t_{0}),
queremos escolher A e t_{0} tais que \mathcal{L}\{g(t)\} tenha a mesma forma algébrica de \mathcal{L}\{x(t)\}, bem como indicar a ROC correspondente.

Passo 2

Para \displaystyle X(s)=\mathcal{L}\{e^{-5t}u(t-1)\} usamos diretamente a definição:
X(s)=\int_{1}^{\infty}e^{-5t}\,e^{-s t}\,dt =\int_{1}^{\infty}e^{-(s+5)t}\,dt.
Como \displaystyle\int_{1}^{\infty}e^{-(s+5)t}\,dt =\left[\frac{e^{-(s+5)t}}{-(s+5)}\right]_{t=1}^{\infty} =\frac{e^{-(s+5)\cdot1}}{s+5},
segue
X(s)=\frac{e^{-(s+5)}}{s+5}.

Passo 3

A integral de \displaystyle\int_{1}^{\infty}e^{-(s+5)t}\,dt converge se, e somente se,
\Re(s+5)>0, ou seja
\Re(s)>-5.

Passo 4

Para \displaystyle G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\} com g(t)=A\,e^{-5t}u(-t-t_{0}), notamos que u(-t-t_{0})=1 para t\le -t_{0}. Assim
G(s) =A\int_{-\infty}^{-t_{0}}e^{-5t}\,e^{-s t}\,dt =A\int_{-\infty}^{-t_{0}}e^{-(s+5)t}\,dt.
Essa integral converge se \Re(s+5)<0 e vale
G(s) =A\left[\frac{e^{-(s+5)t}}{-(s+5)}\right]_{t=-\infty}^{t=-t_{0}} =A\,\frac{e^{(s+5)t_{0}}}{s+5}.

Passo 5

Queremos G(s)=X(s), ou seja
A\,\frac{e^{(s+5)t_{0}}}{s+5} =\frac{e^{-(s+5)}}{s+5} \quad\forall s.
Isso implica
(s+5)t_{0}=-(s+5) e A=1. Logo
t_{0}=-1, \quad A=1.
A região de convergência de G(s) é \Re(s+5)<0, isto é
\Re(s)<-5.

Resposta

(a) \displaystyle X(s)=\frac{e^{-(s+5)}}{s+5}, ROC: \Re(s)>-5.
(b) \displaystyle A=1,\;t_{0}=-1, ROC: \Re(s)<-5.

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