Determine a transformada de Laplace unilateral de cada um dos seguintes sinais e especifique as regiões de convergência correspondentes.
(a) x(t)=e^{-2 t} u(t+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace unilateral de
x(t)=e^{-2t}\,u(t+1)
e sua região de convergência (ROC). A transformada unilateral é definida por
X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)\,e^{-st}\,dt.
Para t\ge0 temos u(t+1)=1, logo sobre o intervalo de integração x(t)=e^{-2t}.

Passo 2

Substituindo x(t)=e^{-2t} em
X(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-2t}\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s+2)t}\,dt
usa-se a fórmula de integral exponencial para \Re(s+2)>0:
X(s)=\frac{1}{s+2}.

Passo 3

A convergência da integral exige
\Re(s+2)>0
ou seja
\Re(s)>-2.

Resposta

X(s)=\frac{1}{s+2}
Região de convergência: \Re(s)>-2.

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