Determine a transformada de Laplace unilateral de cada um dos seguintes sinais e especifique as regiões de convergência correspondentes.
(b) x(t)=\delta(t+1)+\delta(t)+e^{-2(t+3)} u(t+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace unilateral de
x(t)=\delta(t+1)+\delta(t)+e^{-2(t+3)}\,u(t+1).
Aqui usamos a definição
X(s)=\int_{0^-}^{\infty}x(t)\,e^{-s t}\,dt
e precisamos também encontrar a região de convergência (ROC) em s.

Passo 2

Transformada de \delta(t+1).
Como a integral unilateral começa em t=0^-, a singularidade em t=-1 fica fora do intervalo de integração. Logo
\int_{0^-}^{\infty}\delta(t+1)\,e^{-s t}\,dt = 0.

Passo 3

Transformada de \delta(t).
Usando \int_{0^-}^{\infty}\delta(t)\,e^{-s t}\,dt=e^{-s\cdot0}=1, obtemos
\mathcal L\{\delta(t)\}=1.

Passo 4

Transformada de e^{-2(t+3)}\,u(t+1).
Para t\ge0, u(t+1)=1, então a integral vira
\int_{0}^{\infty}e^{-2(t+3)}\,e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-6}\,e^{-(s+2)t}\,dt =e^{-6}\int_{0}^{\infty}e^{-(s+2)t}\,dt.

Passo 5

Cálculo da integral e ROC.
Para \Re(s+2)>0 temos
\int_{0}^{\infty}e^{-(s+2)t}\,dt=\frac{1}{s+2},
logo
\mathcal L\{e^{-2(t+3)}u(t+1)\} =\frac{e^{-6}}{s+2},
com região de convergência \Re(s)>-2.

Resposta

X(s)=1+\frac{e^{-6}}{s+2},\qquad \text{ROC: }\Re(s)>-2.

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