9.9 Dado que
e^{-a t} u(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\leftrightarrows} \frac{1}{s+a}, \quad \operatorname{Re}\{s\}>\operatorname{Re}\{-a\},
determine a transformada inversa de Laplace de
X(s)=\frac{2(s+2)}{s^{2}+7 s+12}, \quad \text { Re }\{s\}>-3 .

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
X(s)=\frac{2(s+2)}{s^{2}+7s+12},
sabendo que
\mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}=\frac{1}{s+a},\quad \Re\{s\}>-a.
Vamos usar o método de frações parciais para decompor X(s) e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Fatoramos o denominador de X(s):
s^{2}+7s+12=(s+3)(s+4).

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{2(s+2)}{(s+3)(s+4)} = \frac{A}{s+3} + \frac{B}{s+4}.
Multiplicando por (s+3)(s+4), obtém-se
2(s+2)=A(s+4)+B(s+3).

Passo 4

Expandindo o lado direito:
2s+4 = (A+B)s + (4A+3B).
Igualando coeficientes de s e termo constante:
A + B = 2,
4A + 3B = 4.
De A=2-B segue
4(2-B)+3B=4\\ \Rightarrow\\\ 8 -4B+3B=4\\ \Rightarrow\\ B=4,
A = 2-4 = -2.

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição:
X(s)=\frac{-2}{s+3}+\frac{4}{s+4}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t}u(t), obtemos
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{-2}{s+3}\Big\} = -2e^{-3t}u(t),
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{4}{s+4}\Big\} = 4e^{-4t}u(t).

Resposta

x(t)=\bigl(-2e^{-3t}+4e^{-4t}\bigr)\,u(t).

Exercícios relacionados