8.16 Suponha que você fosse capaz de desenhar um motor sem um poço frio, de modo que a energia de um objeto quente pudesse ser transferida para a vizinhança inteiramente na forma de calor, sem troca de calor. (a) Qual seria a variação de entropia da vizinhança? (b) Poderia o motor funcionar espontaneamente? Explique sua resposta.
Passo 1
O enunciado apresenta um motor hipotético sem um poço frio, de modo que a energia de um objeto quente é retirada e entregue à vizinhança inteiramente como trabalho, sem haver troca de calor com a vizinhança. Perguntas que o enunciado faz:
- (a) Qual seria a variação de entropia da vizinhança?
- (b) Poderia o motor funcionar espontaneamente? Explique.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
- A energia retirada do objeto quente é transformada totalmente em trabalho entregue à vizinhança.
- Não há transferência de calor entre o sistema (objeto quente / motor) e a vizinhança (ou seja,
). - O motor opera em ciclo (implícito em enunciados desse tipo) ou ao menos faz com que a energia do objeto quente seja extraída como quantidade
a uma temperatura aproximadamente constante .
Passo 2
Conceito básico que precisamos usar: variação de entropia associada à transferência de calor.
Explicando a fórmula da entropia de forma bem direta e prática:
- Para um corpo que troca uma quantidade infinitesimal de calor reversivelmente
à temperatura , a variação infinitesimal de entropia é
- Para uma troca finita de calor
a temperatura (aproximadamente) constante , a variação de entropia é
Aqui:
é a variação de entropia do corpo que recebe (ou perde) calor,
é o calor recebido (positivo se entra no corpo), e
é a temperatura absoluta (em kelvin) na qual isso ocorre.
Observação didática curta: entropia mede “desordem” ou, mais corretamente, a irreversibilidade associada a transferências de energia; calor transferido para um corpo aumenta sua entropia por
. Trabalho, por si só, não transporta entropia — isto é central para este problema.
Passo 3
Aplicação ao problema — variação de entropia da vizinhança.
Pelo enunciado, a vizinhança NÃO recebe calor do motor/sistema: usamos a informação explicitada de que “sem troca de calor” implica
Como a variação de entropia da vizinhança é dada por
(para troca a temperatura
da vizinhança), temos
Comentário didático: trabalho entregue à vizinhança não aparece na fórmula
. Portanto, se a vizinhança só recebe trabalho (e nenhum calor), sua entropia não muda por essa transferência (pelo menos na etapa imediata de recepção do trabalho).
Passo 4
Variação de entropia do objeto quente (fonte) e variação total.
Quando o motor extrai energia
do objeto quente a temperatura
, essa fonte perde calor
(assumimos pequeno
ou processo onde a temperatura da fonte é aproximadamente constante). A variação de entropia do objeto quente é, então,
Sinal negativo porque o calor sai da fonte.
A variação total de entropia do universo (fonte + vizinhança) nessa transferência vale
Como
(energia retirada da fonte), segue que
Exemplo numérico rápido para fixar: se
e
, então
— uma queda de entropia do universo.
Passo 5
Interpretação com a Segunda Lei da Termodinâmica e conclusão sobre espontaneidade.
A formulação estatutária da Segunda Lei afirma que, para um processo espontâneo em um sistema isolado (ou considerando universo fonte+vizinhança), a variação total de entropia não pode diminuir:
para processos reais; igualdade se o processo for reversível.
Aqui obtivemos
. Isso significa que o processo tal como descrito implicaria uma diminuição da entropia total do universo, o que viola a Segunda Lei. Portanto o motor descrito NÃO poderia funcionar espontaneamente.
Comentário didático extra (empatia e giro prático): isso é o mesmo raciocínio por trás da declaração de Kelvin–Planck: “É impossível construir uma máquina que, operando em ciclo, absorva calor de uma única fonte térmica e converta-o integralmente em trabalho.” O argumento pela entropia é outra maneira de ver por que essa máquina é impossível — porque ela reduziria a entropia total.
Passo 6
Observações sobre possíveis contornos e por que não podemos “salvar” a ideia facilmente.
- Poderia a vizinhança depois dissipar o trabalho em calor aumentando assim sua entropia e salvando a Segunda Lei? Se o trabalho entregue fosse irreversivelmente dissipado em calor numa parte da vizinhança a uma temperatura
, então esse aquecimento geraria entropia . Mas nessa situação o calor que saiu da fonte acabaria entrando na vizinhança como calor — isso é equivalente ao caso simples em que o calor vai direto para a vizinhança e aí a variação total seria
Se
isso pode ainda ser positivo ou negativo dependendo; mas, no cenário do enunciado, foi dito que NÃO há troca de calor imediata com a vizinhança — a ideia era transformar calor inteiramente em trabalho sem um poço frio. A Segunda Lei proíbe converter calor de uma única fonte inteiramente em trabalho sem outro efeito (como rejeitar calor a uma segunda temperatura). Assim, qualquer tentativa real de “converter e depois dissipar” acaba implicando que houve efetivamente rejeição de calor a outra temperatura — volta-se ao caso convencional onde é necessário um poço frio.
- Conclusão prática: a impossibilidade é fundamental e não depende de detalhes: converter calor de uma única fonte inteiramente em trabalho, sem rejeitar calor a outro reservatório, viola a Segunda Lei.
Resposta
(a)
(b) Não; não poderia funcionar espontaneamente, pois a operação implicaria , violando a Segunda Lei da Termodinâmica.
(b) Não; não poderia funcionar espontaneamente, pois a operação implicaria