8.16 Suponha que você fosse capaz de desenhar um motor sem um poço frio, de modo que a energia de um objeto quente pudesse ser transferida para a vizinhança inteiramente na forma de calor, sem troca de calor. (a) Qual seria a variação de entropia da vizinhança? (b) Poderia o motor funcionar espontaneamente? Explique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta um motor hipotético sem um poço frio, de modo que a energia de um objeto quente é retirada e entregue à vizinhança inteiramente como trabalho, sem haver troca de calor com a vizinhança. Perguntas que o enunciado faz:
  • (a) Qual seria a variação de entropia da vizinhança?
  • (b) Poderia o motor funcionar espontaneamente? Explique.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
  • A energia retirada do objeto quente é transformada totalmente em trabalho entregue à vizinhança.
  • Não há transferência de calor entre o sistema (objeto quente / motor) e a vizinhança (ou seja, \delta Q_{\text{vizinhança}}=0ç).
  • O motor opera em ciclo (implícito em enunciados desse tipo) ou ao menos faz com que a energia do objeto quente seja extraída como quantidade \,Q a uma temperatura aproximadamente constante T_{\text{quente}}.

Passo 2

Conceito básico que precisamos usar: variação de entropia associada à transferência de calor.
Explicando a fórmula da entropia de forma bem direta e prática:
  • Para um corpo que troca uma quantidade infinitesimal de calor reversivelmente \delta Q_{\text{rev}} à temperatura T, a variação infinitesimal de entropia é
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Para uma troca finita de calor Q a temperatura (aproximadamente) constante T, a variação de entropia é
\Delta S=\frac{Q_{\text{rev}}}{T}.
Aqui: \Delta S é a variação de entropia do corpo que recebe (ou perde) calor, Q_{\text{rev}} é o calor recebido (positivo se entra no corpo), e T é a temperatura absoluta (em kelvin) na qual isso ocorre.
Observação didática curta: entropia mede “desordem” ou, mais corretamente, a irreversibilidade associada a transferências de energia; calor transferido para um corpo aumenta sua entropia por Q/T. Trabalho, por si só, não transporta entropia — isto é central para este problema.

Passo 3

Aplicação ao problema — variação de entropia da vizinhança.
Pelo enunciado, a vizinhança NÃO recebe calor do motor/sistema: usamos a informação explicitada de que “sem troca de calor” implica
Q_{\text{vizinhança}}=0.ç
Como a variação de entropia da vizinhança é dada por \Delta S_{\text{vizinhança}}=Q_{\text{vizinhança}}/T_{\text{v}}çç (para troca a temperatura T_{\text{v}} da vizinhança), temos
\Delta S_{\text{vizinhança}}=\frac{Q_{\text{vizinhança}}}{T_{\text{v}}}=\frac{0}{T_{\text{v}}}=0.çç
Comentário didático: trabalho entregue à vizinhança não aparece na fórmula \Delta S=Q/T. Portanto, se a vizinhança só recebe trabalho (e nenhum calor), sua entropia não muda por essa transferência (pelo menos na etapa imediata de recepção do trabalho).

Passo 4

Variação de entropia do objeto quente (fonte) e variação total.
Quando o motor extrai energia Q do objeto quente a temperatura T_{\text{quente}}, essa fonte perde calor Q (assumimos pequeno Q ou processo onde a temperatura da fonte é aproximadamente constante). A variação de entropia do objeto quente é, então,
\Delta S_{\text{quente}}=-\frac{Q}{T_{\text{quente}}}.
Sinal negativo porque o calor sai da fonte.
A variação total de entropia do universo (fonte + vizinhança) nessa transferência vale
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{quente}}+\Delta S_{\text{vizinhança}}=-\frac{Q}{T_{\text{quente}}}+0=-\frac{Q}{T_{\text{quente}}}.ç
Como Q>0 (energia retirada da fonte), segue que
\Delta S_{\text{total}}=-\frac{Q}{T_{\text{quente}}}<0.
Exemplo numérico rápido para fixar: se Q=100\\ \mathrm{J} e T_{\text{quente}}=300\\ \mathrm{K}, então \Delta S_{\text{total}}=-100/300\\ \mathrm{J/K}=-0{,}333\\ \mathrm{J/K} — uma queda de entropia do universo.

Passo 5

Interpretação com a Segunda Lei da Termodinâmica e conclusão sobre espontaneidade.
A formulação estatutária da Segunda Lei afirma que, para um processo espontâneo em um sistema isolado (ou considerando universo fonte+vizinhança), a variação total de entropia não pode diminuir:
\Delta S_{\text{total}}\ge 0
para processos reais; igualdade se o processo for reversível.
Aqui obtivemos \Delta S_{\text{total}}=-Q/T_{\text{quente}}<0. Isso significa que o processo tal como descrito implicaria uma diminuição da entropia total do universo, o que viola a Segunda Lei. Portanto o motor descrito NÃO poderia funcionar espontaneamente.
Comentário didático extra (empatia e giro prático): isso é o mesmo raciocínio por trás da declaração de Kelvin–Planck: “É impossível construir uma máquina que, operando em ciclo, absorva calor de uma única fonte térmica e converta-o integralmente em trabalho.” O argumento pela entropia é outra maneira de ver por que essa máquina é impossível — porque ela reduziria a entropia total.

Passo 6

Observações sobre possíveis contornos e por que não podemos “salvar” a ideia facilmente.
  • Poderia a vizinhança depois dissipar o trabalho em calor aumentando assim sua entropia e salvando a Segunda Lei? Se o trabalho entregue fosse irreversivelmente dissipado em calor numa parte da vizinhança a uma temperatura T_{\text{v}}, então esse aquecimento geraria entropia \Delta S_{\text{diss}}=Q/T_{\text{v}}. Mas nessa situação o calor que saiu da fonte \,Q acabaria entrando na vizinhança como calor — isso é equivalente ao caso simples em que o calor vai direto para a vizinhança e aí a variação total seria
\Delta S_{\text{total}}=-\frac{Q}{T_{\text{quente}}}+\frac{Q}{T_{\text{v}}}.
Se T_{\text{v}}<T_{\text{quente}} isso pode ainda ser positivo ou negativo dependendo; mas, no cenário do enunciado, foi dito que NÃO há troca de calor imediata com a vizinhança — a ideia era transformar calor inteiramente em trabalho sem um poço frio. A Segunda Lei proíbe converter calor de uma única fonte inteiramente em trabalho sem outro efeito (como rejeitar calor a uma segunda temperatura). Assim, qualquer tentativa real de “converter e depois dissipar” acaba implicando que houve efetivamente rejeição de calor a outra temperatura — volta-se ao caso convencional onde é necessário um poço frio.
  • Conclusão prática: a impossibilidade é fundamental e não depende de detalhes: converter calor de uma única fonte inteiramente em trabalho, sem rejeitar calor a outro reservatório, viola a Segunda Lei.

Resposta

(a) \Delta S_{\text{vizinhança}}=0.ç
(b) Não; não poderia funcionar espontaneamente, pois a operação implicaria \Delta S_{\text{total}}=-\dfrac{Q}{T_{\text{quente}}}<0, violando a Segunda Lei da Termodinâmica.

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