1-16 A temperatura T(x, y) do ponto (x, y) de uma chapa metálica é dada pela função T(x, y)=2 x^2+3 y^2+15. Encontre a equação da isoterma (curva de temperatura constante) que passa pelo ponto (1,3) e esboce tal curva de nível.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura de uma chapa metálica por
T(x,y)=2x^2+3y^2+15
e pede a curva de nível (isoterma) que passa por (1,3). O conteúdo envolvido é o de curvas de nível de funções de duas variáveis: para achar uma isoterma, basta avaliar a função no ponto dado para obter a constante e, em seguida, impor T(x,y)= essa constante.

Passo 2

Calculamos a temperatura no ponto (1,3):
T(1,3)=2cdot(1)^2+3cdot(3)^2+15 =2+27+15=44

Passo 3

A isoterma que passa por (1,3) é o conjunto dos pontos (x,y) tais que
T(x,y)=44,
isto é,
2x^2+3y^2+15=44 Longrightarrow 2x^2+3y^2=29

Passo 4

Para reconhecer o tipo de curva, escrevemos em forma padrão de elipse:
x^229/2+y^229/3=1
Assim, é uma elipse centrada na origem, com semieixo horizontal
a=raiztfrac292
e semieixo vertical
b=raiztfrac293.
O ponto (1,3) satisfaz 2cdot1^2+3cdot3^2=2+27=29, logo está sobre essa elipse.
O esboço qualitativo é uma elipse centrada em (0,0), mais esticada no eixo x (interceptos pmraiz29/2) e um pouco menos no eixo y (interceptos pmraiz29/3), passando por (1,3).

Resposta

A isoterma que passa por (1,3) é a elipse
2x^2+3y^2=29,
ou, em forma padrão,
x^229/2+y^229/3=1

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