Exercício 16. (Apostol, capítulo 7.12, exercícios 1 a 5, 8 a 10) Calcule e^t A nos seguintes casos:
A=(lll0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o exponencial de matriz ,e^tA, para
A = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0
O conteúdo chave é usar a série de Taylor
e^tA ;=;sumk=0^inftyt^kk!,A^k
e aproveitar propriedades de potências de A.

Passo 2

Escrevemos a definição em série:
e^tA = I + sumk=1^inftyt^kk!A^k
Para prosseguir, precisamos entender A^2,A^3,dots.

Passo 3

Calculemos
A^2 = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 = A
Isso mostra que A^2 = A, logo A^k = A para todo k>=1.

Passo 4

Substituindo em e^tA, temos
e^tA = I + sumk=1^inftyt^kk!A = I + l(sumk=1^inftyt^kk!r)A = I + (e^t-1),A

Passo 5

Bast a somar I e (e^t-1)A:
e^tA = I + (e^t-1) 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 = 1 & e^t-1 & e^t-1 0 & e^t & e^t-1 0 & 0 & 1

Resposta

e^tA = 1 & e^t - 1 & e^t - 1 0 & e^t & e^t - 1 0 & 0 & 1

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