Esboce os seguintes conjuntos definidos implicitamente pela função f dada.
f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2, y+z)=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede o esboço do conjunto em R^3 definido pelas duas equações
x^2+y^2+z^2=1,
y+z=1
O conteúdo é geometria analítica em R^3: interseção de uma esfera de raio 1 e de um plano.

Passo 2

Reconhecemos que
x^2 + y^2 + z^2 = 1 é a esfera unitária centrada em (0,0,0)
e
y + z = 1 é um plano oblíquo.
Em geral, a interseção de uma esfera e de um plano que não passa pelo centro da esfera é um círculo.

Passo 3

Para achar o círculo, calculamos a distância do centro da esfera ao plano e o centro da projeção:
o vetor normal ao plano é
n = (0,1,1),
logo |n|=raiz2. A distância do ponto (0,0,0) ao plano y+z-1=0 é
|0+0-1|raiz2 = 1raiz2
O pé da perpendicular (centro do círculo) é
C ;=;(0,0,0);-;0+0-1|n|^2,(0,1,1) ;=;(0,tfrac12,tfrac12)
O raio r do círculo satisfaz
r ;=;raiz1-l(tfrac1raiz2r)^2 ;=;raiztfrac12 ;=;1raiz2

Passo 4

Uma representação paramétrica conveniente usa uma base ortonormal do plano. Por exemplo,
e1=(1,0,0) e e2=(0,tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2)
são perpendiculares a n e entre si. Então
(x,y,z) = l(0,tfrac12,tfrac12r) + 1raiz2l(cos t;e1 + sin t;e2r), tin[0,2pi)

Passo 5

No esboço, desenhe a esfera de raio 1 centrada em (0,0,0), o plano inclinado y+z=1 e destaque o círculo de interseção, de centro (0,tfrac12,tfrac12) e raio tfrac1raiz2, contido naquele plano.

Resposta

O conjunto é o círculo de raio tfrac1raiz2 e centro l(0,tfrac12,tfrac12r) contido no plano y+z=1, resultado da interseção com a esfera unitária.

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