Esboce os seguintes conjuntos definidos implicitamente pela função
dada.
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do conjunto em
definido pelas duas equações
O conteúdo é geometria analítica em
: interseção de uma esfera de raio
e de um plano.
Passo 2
Reconhecemos que
é a esfera unitária centrada em
e
é um plano oblíquo.
Em geral, a interseção de uma esfera e de um plano que não passa pelo centro da esfera é um círculo.
e
Em geral, a interseção de uma esfera e de um plano que não passa pelo centro da esfera é um círculo.
Passo 3
Para achar o círculo, calculamos a distância do centro da esfera ao plano e o centro da projeção:
o vetor normal ao plano é
o vetor normal ao plano é
logo
. A distância do ponto
ao plano
é
O pé da perpendicular (centro do círculo) é
O raio
do círculo satisfaz
Passo 4
Uma representação paramétrica conveniente usa uma base ortonormal do plano. Por exemplo,
e
são perpendiculares a e entre si. Então
são perpendiculares a
Passo 5
No esboço, desenhe a esfera de raio
centrada em
, o plano inclinado
e destaque o círculo de interseção, de centro
e raio
, contido naquele plano.
Resposta
O conjunto é o círculo de raio
e centro
contido no plano
, resultado da interseção com a esfera unitária.