Exercício 16. (Apostol, capítulo 7.12, exercícios 1 a 5, 8 a 10) Calcule e^t A nos seguintes casos:
A=(lll2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular e^tA onde
A = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1
O método mais direto é usar a definição
e^tA = sumk=0^inftyt^kk!A^k,
aproveitando que A se decompõe em um bloco 1times1 e um bloco 2times2.

Passo 2

Reescrevendo A como bloco diagonal de ordem 1 e 2, temos
A = 2 & 0[6pt] 0 & A2 com A2 = 1 & 0[3pt]1 & 1
Como os dois blocos comutam (s~ao independentes),
e^tA = e^2t & 0[3pt] 0 & e^tA2 ]

Passo 3

O bloco 1times1 é só o número 2, logo
e^tcdot 2 = e^2t

Passo 4

No bloco 2times2, note que
A2 = I2 + N, I2 = 1&00&1, N = 0&01&0,
e N^2=0 (nilpotente de índice 2).

Passo 5

Usando que I2 comuta com N e a série de exponencial,
e^tA2 = e^t(I2+N) = e^tI2,e^tN = e^tsumk=0^infty(tN)^kk! = e^tl(I2 + tNr)
Como I2 + tN = 1&0[3pt]t&1,
e^tA2 = e^t1&0[3pt]t&1 = e^t&0[3pt]t,e^t&e^t ]

Passo 6

Juntando os dois blocos no formato 3times3, obtemos
e^tA = e^2t & 0 & 0[4pt] 0 & e^t & 0[4pt] 0 & t,e^t & e^t ]

Resposta

e^tA = e^2t & 0 & 0 0 & e^t & 0 0 & t,e^t & e^t

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