Ex 16. Três substâncias cicatrizantes foram avaliadas em queimados graves na unidade de tratamento intensivo do Hospital das Clínicas. Mediu-se o tempo de cicatrização em uma amostra de 15 pacientes, sendo que cada paciente foi sorteado para receber uma das substâncias (S1, S2 e S3), obtendo-se os dados:
Substâncias
Tempo em dias
S1
33
39
42
35
36
S2
32
30
34
31
32
S3
38
42
39
34
45
Considere que os dados seguem distribuição normal e um nível de
de significância.
a) O teste de Bartlett para homocedasticidade de variâncias foi realizado retornando um valor de p igual a 0,1853 . Escreve a hipótese deste teste e apresente a conclusão a partir deste resultado.
b) É possível utilizar a técnica paramétrica de Análise de Variância (ANOVA) para estes dados? Justifique.
c) Após analisar os dados, pode-se afirmar que todos os cicatrizantes apresentam efeitos iguais? Utilize o teste adequado para verificar esta hipótese, apresentando a hipótese estatística, o resultado do teste e suas conclusões.
d)Caso exista diferença entre as médias, apresente uma tabela com as médias, desvios padrão e o resultado de um teste de comparações múltiplas por meio de letras indicando as diferenças.
| Substâncias | Tempo em dias | ||||
| S1 | 33 | 39 | 42 | 35 | 36 |
| S2 | 32 | 30 | 34 | 31 | 32 |
| S3 | 38 | 42 | 39 | 34 | 45 |
a) O teste de Bartlett para homocedasticidade de variâncias foi realizado retornando um valor de p igual a 0,1853 . Escreve a hipótese deste teste e apresente a conclusão a partir deste resultado.
b) É possível utilizar a técnica paramétrica de Análise de Variância (ANOVA) para estes dados? Justifique.
c) Após analisar os dados, pode-se afirmar que todos os cicatrizantes apresentam efeitos iguais? Utilize o teste adequado para verificar esta hipótese, apresentando a hipótese estatística, o resultado do teste e suas conclusões.
d)Caso exista diferença entre as médias, apresente uma tabela com as médias, desvios padrão e o resultado de um teste de comparações múltiplas por meio de letras indicando as diferenças.
Passo 1
O enunciado fornece os tempos de cicatrização, em dias, observados em três tratamentos (cada tratamento aplicado a
pacientes aleatoriamente), e pede várias análises estatísticas. Dados:
Informações adicionais do enunciado que vamos usar:
- Os dados são (assume-se) normalmente distribuídos.
- Resultado do teste de Bartlett para homocedasticidade:
. - Nível de significância
.
Perguntas que o enunciado faz:
a) Escrever a hipótese do teste de Bartlett e concluir com base em .
b) Dizer se é possível usar ANOVA paramétrica (justificar).
c) Aplicar ANOVA (hipóteses, resultado do teste e conclusão).
d) Se houver diferença, apresentar tabela com médias, desvios padrão e teste de comparações múltiplas com letras indicando diferenças.]
a) Escrever a hipótese do teste de Bartlett e concluir com base em
b) Dizer se é possível usar ANOVA paramétrica (justificar).
c) Aplicar ANOVA (hipóteses, resultado do teste e conclusão).
d) Se houver diferença, apresentar tabela com médias, desvios padrão e teste de comparações múltiplas com letras indicando diferenças.]
Passo 2
Teste de Bartlett — hipóteses e interpretação do p-valor.
- Hipóteses do teste de Bartlett:
- Interpretação do p-valor: o teste retornou
. Como , não rejeitamos . Conclusão: não há evidência estatística, ao nível de , de que as variâncias sejam diferentes — ou seja, podemos assumir homocedasticidade (variâncias homogêneas) entre os três grupos.
Observação (didática curta): o teste de Bartlett verifica se as dispersões (variâncias) dos grupos são compatíveis com serem todas iguais. Um p pequeno indicaria heterocedasticidade; p grande indica que não há evidência contra igualdade de variâncias.
Passo 3
Posso usar ANOVA paramétrica?
Condições básicas para usar a ANOVA one‑way paramétrica:
- Observações independentes (aqui: pacientes sorteados aleatoriamente — ok).
- Normalidade dentro de cada grupo (o enunciado pede que consideremos normalidade).
- Homocedasticidade (igualdade de variâncias entre os grupos).
Já verificamos homocedasticidade pelo teste de Bartlett (
) e o enunciado afirma normalidade. Portanto, as condições são atendidas e é adequado usar ANOVA parametrizada.
Passo 4
Preparando os cálculos da ANOVA — médias e variâncias amostrais dos grupos (passo a passo, bem mastigado).
Fórmula da média amostral do grupo
:
Cálculo das médias:
Cálculo dos desvios dentro de cada grupo (soma dos quadrados dentro do grupo):
Para S1: soma dos quadrados das diferenças em relação a
:
Variância amostral
. Desvio padrão
.
Para S2:
Variância
. Desvio padrão
.
Para S3:
Variância
. Desvio padrão
.]
Passo 5
Cálculo da média global (grand mean)
:
Passo 6
Cálculo da soma de quadrados entre (SSB — “between”):
Fórmula:
Plugando números:
Portanto
.]
Passo 7
Cálculo da soma de quadrados dentro (SSW — “within”):
Já calculamos as somas de quadrados dentro de cada grupo:
Passo 8
Soma total dos quadrados (verificação):
Isso fecha a identidade total — bom sinal de que os cálculos foram consistentes.
Passo 9
Tabela ANOVA e teste-F
Graus de liberdade:
Médias quadráticas:
Estatística-F:
Hipóteses da ANOVA:
Comparação com nível
: o valor crítico aproximado para
é
. Nosso
, portanto rejeitamos
ao nível de
.
Estimativa do p‑valor:
associada a
é pequena. Usando tabelas/softwares obtém‑se
. Conclusão: existe evidência estatística de que nem todas as médias são iguais — pelo menos um cicatrizante difere dos outros em média de tempo de cicatrização.
Interpretação intuitiva: a variabilidade entre as médias dos grupos é grande em relação à variabilidade dentro dos grupos, resultando em um F alto e rejeição da igualdade de médias.]
Passo 10
Comparações múltiplas — teste de Tukey HSD (porque temos amostras iguais e ANOVA rejeitada)
Breve aula rápida (didática):
- O teste de Tukey compara todas as diferenças de médias em pares ajustando o erro de comparações múltiplas.
- Fórmula do “HSD” (diferença mínima significativa), para amostras com mesmo tamanho
:
onde
é o quantil da distribuição studentized range.
Aqui:
,
,
,
. A partir da tabela de
(studentized range) para
,
.
Cálculo do erro padrão comum:
Logo
Comparações de pares (diferenças absolutas das médias):
Regra: se diferença
HSD (
) então significativa.
Resultados:
-
→ S1 vs S2: diferença NÃO significativa. -
→ S1 vs S3: diferença NÃO significativa. -
→ S2 vs S3: diferença SIGNIFICATIVA.
Comentário sobre letras (forma habitual de apresentar): grupos que não diferem compartilham letras. Aqui S1 não difere nem de S2 nem de S3, mas S2 difere de S3. A convenção de letras que expressa isso é:
- S3: letra A
- S1: letras A e B (ou “AB”) — porque S1 não difere de A (S3) nem de B (S2)
- S2: letra B]
Passo 11
Tabela final com médias, desvios padrão (amostrais) e o resultado do teste de comparações múltiplas por letras.
Valores já calculados:
Letras de agrupamento (Tukey): S3 = A, S1 = AB, S2 = B (isto indica que S2 difere significativamente de S3; S1 não difere de nenhum dos dois ao nível de
).]
Resposta
a) Hipóteses do teste de Bartlett:
e
nem todas as variâncias são iguais. Como
, não rejeitamos
. Conclusão: não há evidência de heterocedasticidade (as variâncias podem ser consideradas homogêneas).
b) Sim. As condições para ANOVA estão satisfeitas: normalidade (assumida pelo enunciado), independência (amostras aleatórias) e homocedasticidade ( Bartlett ), logo ANOVA paramétrica é apropriada.
c) Hipóteses da ANOVA: e
pelo menos uma média difere. Estatística
com
;
. Como
(ou
), rejeitamos
: conclui‑se que nem todos os cicatrizantes têm efeito médio igual.
d) Médias, desvios padrão e agrupamento por letras (Tukey, ):
b) Sim. As condições para ANOVA estão satisfeitas: normalidade (assumida pelo enunciado), independência (amostras aleatórias) e homocedasticidade ( Bartlett
c) Hipóteses da ANOVA:
d) Médias, desvios padrão e agrupamento por letras (Tukey,
S1:
letra: AB
S2: letra: B
S3: letra: A
S2:
S3:
(Interpretação das letras: S2 difere significativamente de S3; S1 não difere significativamente nem de S2 nem de S3 ao nível de
.)