Ex 16. Três substâncias cicatrizantes foram avaliadas em queimados graves na unidade de tratamento intensivo do Hospital das Clínicas. Mediu-se o tempo de cicatrização em uma amostra de 15 pacientes, sendo que cada paciente foi sorteado para receber uma das substâncias (S1, S2 e S3), obtendo-se os dados:
Substâncias Tempo em dias
S1 33 39 42 35 36
S2 32 30 34 31 32
S3 38 42 39 34 45
Considere que os dados seguem distribuição normal e um nível de 5 \% de significância.
a) O teste de Bartlett para homocedasticidade de variâncias foi realizado retornando um valor de p igual a 0,1853 . Escreve a hipótese deste teste e apresente a conclusão a partir deste resultado.
b) É possível utilizar a técnica paramétrica de Análise de Variância (ANOVA) para estes dados? Justifique.
c) Após analisar os dados, pode-se afirmar que todos os cicatrizantes apresentam efeitos iguais? Utilize o teste adequado para verificar esta hipótese, apresentando a hipótese estatística, o resultado do teste e suas conclusões.
d)Caso exista diferença entre as médias, apresente uma tabela com as médias, desvios padrão e o resultado de um teste de comparações múltiplas por meio de letras indicando as diferenças.

Passo 1

O enunciado fornece os tempos de cicatrização, em dias, observados em três tratamentos (cada tratamento aplicado a 5 pacientes aleatoriamente), e pede várias análises estatísticas. Dados:
\begin{array}{lcl} \text{S1:} & 33,\;39,\;42,\;35,\;36 & (n_1=5)\\[4pt] \text{S2:} & 32,\;30,\;34,\;31,\;32 & (n_2=5)\\[4pt] \text{S3:} & 38,\;42,\;39,\;34,\;45 & (n_3=5) \end{array}
Informações adicionais do enunciado que vamos usar:
  • Os dados são (assume-se) normalmente distribuídos.
  • Resultado do teste de Bartlett para homocedasticidade: \text{p}=0,1853.
  • Nível de significância \alpha=0,05.
Perguntas que o enunciado faz:
a) Escrever a hipótese do teste de Bartlett e concluir com base em \text{p}=0,1853.
b) Dizer se é possível usar ANOVA paramétrica (justificar).
c) Aplicar ANOVA (hipóteses, resultado do teste e conclusão).
d) Se houver diferença, apresentar tabela com médias, desvios padrão e teste de comparações múltiplas com letras indicando diferenças.]

Passo 2

Teste de Bartlett — hipóteses e interpretação do p-valor.
  • Hipóteses do teste de Bartlett:
\begin{aligned} H_0:&\\ \text{As variâncias dos três grupos são iguais: }\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma_3^2,\\\ H_1:&\\ \text{Pelo menos duas variâncias são diferentes.} \end{aligned}âêãâã
  • Interpretação do p-valor: o teste retornou \text{p}=0,1853. Como \text{p}=0,1853>\alpha=0,05, não rejeitamos H_0. Conclusão: não há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que as variâncias sejam diferentes — ou seja, podemos assumir homocedasticidade (variâncias homogêneas) entre os três grupos.
Observação (didática curta): o teste de Bartlett verifica se as dispersões (variâncias) dos grupos são compatíveis com serem todas iguais. Um p pequeno indicaria heterocedasticidade; p grande indica que não há evidência contra igualdade de variâncias.

Passo 3

Posso usar ANOVA paramétrica?
Condições básicas para usar a ANOVA one‑way paramétrica:
  1. Observações independentes (aqui: pacientes sorteados aleatoriamente — ok).
  2. Normalidade dentro de cada grupo (o enunciado pede que consideremos normalidade).
  3. Homocedasticidade (igualdade de variâncias entre os grupos).
Já verificamos homocedasticidade pelo teste de Bartlett ( \text{p}=0,1853) e o enunciado afirma normalidade. Portanto, as condições são atendidas e é adequado usar ANOVA parametrizada.

Passo 4

Preparando os cálculos da ANOVA — médias e variâncias amostrais dos grupos (passo a passo, bem mastigado).
Fórmula da média amostral do grupo i:
\bar{x}_i=\frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i} x_{ij}.
Cálculo das médias:
\begin{aligned} \bar{x}_1 &= \frac{33+39+42+35+36}{5}=\frac{185}{5}=37,0,\\[4pt] \bar{x}_2 &= \frac{32+30+34+31+32}{5}=\frac{159}{5}=31,8,\\[4pt] \bar{x}_3 &= \frac{38+42+39+34+45}{5}=\frac{198}{5}=39,6. \end{aligned}
Cálculo dos desvios dentro de cada grupo (soma dos quadrados dentro do grupo):
Para S1: soma dos quadrados das diferenças em relação a \bar{x}_1:
\begin{aligned} \sum (x_{1j}-\bar{x}_1)^2 &= (33-37)^2+(39-37)^2+(42-37)^2+(35-37)^2+(36-37)^2\\\ &=16+4+25+4+1=50. \end{aligned}
Variância amostral s_1^2=\dfrac{50}{5-1}=\dfrac{50}{4}=12,5. Desvio padrão s_1\approx\sqrt{12,5}\approx3,536.
Para S2:
\begin{aligned} \sum (x_{2j}-\bar{x}_2)^2 &= (32-31,8)^2+(30-31,8)^2+(34-31,8)^2+(31-31,8)^2+(32-31,8)^2\\\ &=0,04+3,24+4,84+0,64+0,04=8,8. \end{aligned}
Variância s_2^2=\dfrac{8,8}{4}=2,2. Desvio padrão s_2\approx\sqrt{2,2}\approx1,483.
Para S3:
\begin{aligned} \sum (x_{3j}-\bar{x}_3)^2 &= (38-39,6)^2+(42-39,6)^2+(39-39,6)^2+(34-39,6)^2+(45-39,6)^2\\\ &=2,56+5,76+0,36+31,36+29,16=69,2. \end{aligned}
Variância s_3^2=\dfrac{69,2}{4}=17,3. Desvio padrão s_3\approx\sqrt{17,3}\approx4,159.]

Passo 5

Cálculo da média global (grand mean) \bar{x}:
\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^{5} x_{ij}}{N}=\frac{185+159+198}{15}=\frac{542}{15}=36,133\ldots \approx36,133.

Passo 6

Cálculo da soma de quadrados entre (SSB — “between”):
Fórmula:
\text{SSB}=\sum_{i=1}^k n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2.
Plugando números:
\begin{aligned} \text{SSB}&=5(37,0-36,1333)^2 + 5(31,8-36,1333)^2 + 5(39,6-36,1333)^2\\[4pt] &=5(0,8667)^2+5(-4,3333)^2+5(3,4667)^2\\[4pt] &\approx 3,7556+93,8889+60,0889=157,7333. \end{aligned}
Portanto \text{SSB}\approx157,7333.]

Passo 7

Cálculo da soma de quadrados dentro (SSW — “within”):
Já calculamos as somas de quadrados dentro de cada grupo:
\text{SSW}=50+8,8+69,2=128,0.

Passo 8

Soma total dos quadrados (verificação):
\text{SST}=\text{SSB}+\text{SSW}\approx157,7333+128=285,7333.
Isso fecha a identidade total — bom sinal de que os cálculos foram consistentes.

Passo 9

Tabela ANOVA e teste-F
Graus de liberdade:
\begin{aligned} \text{df}_{\text{between}}&=k-1=3-1=2,\\\ \text{df}_{\text{within}}&=N-k=15-3=12. \end{aligned}
Médias quadráticas:
\begin{aligned} \text{MSB}&=\frac{\text{SSB}}{\text{df}_{\text{between}}}=\frac{157,7333}{2}=78,8667,\\[4pt] \text{MSW}&=\frac{\text{SSW}}{\text{df}_{\text{within}}}=\frac{128}{12}=10,6667. \end{aligned}
Estatística-F:
F=\frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}=\frac{78,8667}{10,6667}\approx7,3938.
Hipóteses da ANOVA:
\begin{aligned} H_0:&\\ \mu_1=\mu_2=\mu_3\quad(\text{todas as médias iguais}),\\\ H_1:&\\ \text{Pelo menos uma média difere.} \end{aligned}éé
Comparação com nível \alpha=0,05: o valor crítico aproximado para F_{0,95;2,12} é \approx3,885. Nosso F\approx7,394>3,885, portanto rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.
Estimativa do p‑valor: \text{p} associada a F(2,12)=7,394 é pequena. Usando tabelas/softwares obtém‑se \text{p}\approx0,008. Conclusão: existe evidência estatística de que nem todas as médias são iguais — pelo menos um cicatrizante difere dos outros em média de tempo de cicatrização.
Interpretação intuitiva: a variabilidade entre as médias dos grupos é grande em relação à variabilidade dentro dos grupos, resultando em um F alto e rejeição da igualdade de médias.]

Passo 10

Comparações múltiplas — teste de Tukey HSD (porque temos amostras iguais e ANOVA rejeitada)
Breve aula rápida (didática):
  • O teste de Tukey compara todas as diferenças de médias em pares ajustando o erro de comparações múltiplas.
  • Fórmula do “HSD” (diferença mínima significativa), para amostras com mesmo tamanho n:
\text{HSD}=q_{\alpha;k,\,\text{df}_{\text{within}}}\cdot\sqrt{\frac{\text{MSW}}{n}},
onde q_{\alpha;k,df} é o quantil da distribuição studentized range.
Aqui: k=3, \text{df}_{\text{within}}=12, \text{MSW}=10,6667, n=5. A partir da tabela de q (studentized range) para \alpha=0,05, q_{0,05;3,12}\approx3,77.
Cálculo do erro padrão comum:
\text{SE}=\sqrt{\frac{\text{MSW}}{n}}=\sqrt{\frac{10,6667}{5}}=\sqrt{2,13333}\approx1,4606.
Logo
\text{HSD}\approx 3,77\times1,4606\approx5,507.
Comparações de pares (diferenças absolutas das médias):
\begin{aligned} |\bar{x}_1-\bar{x}_2|&=|37,0-31,8|=5,2,\\[4pt] |\bar{x}_1-\bar{x}_3|&=|37,0-39,6|=2,6,\\[4pt] |\bar{x}_2-\bar{x}_3|&=|31,8-39,6|=7,8. \end{aligned}
Regra: se diferença > HSD ( \approx5,507) então significativa.
Resultados:
  • 5,2<5,507 → S1 vs S2: diferença NÃO significativa.
  • 2,6<5,507 → S1 vs S3: diferença NÃO significativa.
  • 7,8>5,507 → S2 vs S3: diferença SIGNIFICATIVA.
Comentário sobre letras (forma habitual de apresentar): grupos que não diferem compartilham letras. Aqui S1 não difere nem de S2 nem de S3, mas S2 difere de S3. A convenção de letras que expressa isso é:
  • S3: letra A
  • S1: letras A e B (ou “AB”) — porque S1 não difere de A (S3) nem de B (S2)
  • S2: letra B]

Passo 11

Tabela final com médias, desvios padrão (amostrais) e o resultado do teste de comparações múltiplas por letras.
Valores já calculados:
\begin{array}{lcc} \text{Substância} & \text{Média }(\bar{x}) & \text{Desvio padrão }(s)\\[4pt] \text{S1} & 37,0 & 3,536\\[4pt] \text{S2} & 31,8 & 1,483\\[4pt] \text{S3} & 39,6 & 4,159 \end{array}âéã
Letras de agrupamento (Tukey): S3 = A, S1 = AB, S2 = B (isto indica que S2 difere significativamente de S3; S1 não difere de nenhum dos dois ao nível de 5\%).]

Resposta

a) Hipóteses do teste de Bartlett: \;H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma_3^2\; e \;H_1: nem todas as variâncias são iguais. Como \text{p}=0,1853>0,05, não rejeitamos H_0. Conclusão: não há evidência de heterocedasticidade (as variâncias podem ser consideradas homogêneas).
b) Sim. As condições para ANOVA estão satisfeitas: normalidade (assumida pelo enunciado), independência (amostras aleatórias) e homocedasticidade ( Bartlett \text{p}=0,1853 ), logo ANOVA paramétrica é apropriada.
c) Hipóteses da ANOVA: \;H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3\; e \;H_1: pelo menos uma média difere. Estatística F\approx7,394 com \text{df}=(2,12); \text{p}\approx0,008. Como \text{p}<0,05 (ou F>F_{0,95;2,12}), rejeitamos H_0: conclui‑se que nem todos os cicatrizantes têm efeito médio igual.
d) Médias, desvios padrão e agrupamento por letras (Tukey, \alpha=0,05):
S1: \bar{x}_1=37,0,\;s_1\approx3,536, letra: AB
S2: \bar{x}_2=31,8,\;s_2\approx1,483, letra: B
S3: \bar{x}_3=39,6,\;s_3\approx4,159, letra: A
(Interpretação das letras: S2 difere significativamente de S3; S1 não difere significativamente nem de S2 nem de S3 ao nível de 5\%.)

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