Ex 15. Cinco operadores de um determinado tipo de máquina foram treinados para operar duas marcas diferentes ( X e Y ). Mediu-se o tempo que cada um deles gastou para processar uma determinada tarefa nas duas marcas, resultando nos seguintes dados (em minutos):
Marca X
80
72
65
78
85
Marca Y
75
70
60
72
78
Com um nível de
de significância, pode-se afirmar que a tarefa realizada na máquina
demora mais do que na máquina Y? Considere que os dados seguem distribuição normal.
| Marca X | 80 | 72 | 65 | 78 | 85 |
| Marca Y | 75 | 70 | 60 | 72 | 78 |
Passo 1
O enunciado fornece os tempos (em minutos) medidos para cinco operadores usando duas marcas de máquina e pergunta, com nível de significância
, se a tarefa na máquina
demora mais do que na máquina
. Dados fornecidos:
Nível de significância:
.
Pergunta a responder: existe evidência suficiente, a , para afirmar que o tempo com
é maior que com
?
Pergunta a responder: existe evidência suficiente, a
Passo 2
Decisão do método e hipóteses (explicação didática):
- Aqui cada operador usou as duas marcas, portanto as observações são pareadas (cada par vem do mesmo operador). Para dados pareados usa-se o teste t pareado (ou teste t para diferenças), que testa a média das diferenças entre pares.
- Definimos a variável
como a diferença para o i-ésimo operador: . - Hipóteses para testar se
demora mais que :
onde
é a média populacional das diferenças
. É um teste unilateral à direita.
- Condição de validade: o teste t pareado requer que as diferenças
sigam (aproximadamente) uma distribuição normal. O enunciado diz que os dados seguem distribuição normal, então podemos aplicar o teste.
Passo 3
Calcular as diferenças observadas
e a média amostral das diferenças
:
Lista de diferenças:
.
Calcule a média amostral:
Calcule a média amostral:
Passo 4
Calcular a variância amostral e o desvio-padrão das diferenças (explicando a fórmula):
- Fórmula da variância amostral das diferenças:
onde
e
é o desvio-padrão amostral das diferenças.
- Calcular as diferenças em relação à média e seus quadrados:
Soma dos quadrados:
.
(Explicação curta: dividimos por
porque estamos estimando a variância populacional a partir da amostra — é o estimador amostral não viciado.)
Passo 5
Construir a estatística de teste e calcular seu valor (fórmula e interpretação):
- Fórmula da estatística t para amostras pareadas:
onde
é o valor da média sob
(aqui
),
é o desvio-padrão das diferenças e
é o número de pares.
- Substituindo os valores:
- Valor numérico:
Passo 6
Regra de decisão usando o valor crítico e conclusão numérica:
- Graus de liberdade:
. - Para um teste unilateral à direita com
, o valor crítico é . Usando tabela t, temos aproximadamente
- Regra: rejeitamos
se . - Comparando:
. Logo rejeitamos . - P-valor: com
tão grande e , o p-valor unilateral é muito pequeno; em particular . Isso confirma que o resultado é altamente significativo mesmo para níveis bem menores que .
Passo 7
Interpretação final e incentivo (linguagem amiga e didática):
- Rejeitar
significa que há evidência estatística, ao nível de significância , de que a média das diferenças é positiva — ou seja, que a máquina demora mais do que a . - Em termos práticos: a diferença média observada foi de
minutos, e esse efeito é estatisticamente significativo nas condições do teste (assumindo a normalidade das diferenças). - Bom trabalho por encarar a questão! Esse tipo de teste pareado é muito útil quando comparamos tratamentos medidos nas mesmas unidades (aqui, os mesmos operadores).
Resposta
Sim. Rejeita-se
; há evidência ao nível
de que
demora mais que
(
,
,
).