Ex 15. Cinco operadores de um determinado tipo de máquina foram treinados para operar duas marcas diferentes ( X e Y ). Mediu-se o tempo que cada um deles gastou para processar uma determinada tarefa nas duas marcas, resultando nos seguintes dados (em minutos):
Marca X 80 72 65 78 85
Marca Y 75 70 60 72 78
Com um nível de 10 \% de significância, pode-se afirmar que a tarefa realizada na máquina X demora mais do que na máquina Y? Considere que os dados seguem distribuição normal.

Passo 1

O enunciado fornece os tempos (em minutos) medidos para cinco operadores usando duas marcas de máquina e pergunta, com nível de significância 10\%, se a tarefa na máquina X demora mais do que na máquina Y. Dados fornecidos:
\text{Marca X: } 80,\;72,\;65,\;78,\;85
\text{Marca Y: } 75,\;70,\;60,\;72,\;78
Nível de significância: \alpha = 10\% = 0,10.
Pergunta a responder: existe evidência suficiente, a \alpha=0,10, para afirmar que o tempo com X é maior que com Y?

Passo 2

Decisão do método e hipóteses (explicação didática):
  • Aqui cada operador usou as duas marcas, portanto as observações são pareadas (cada par vem do mesmo operador). Para dados pareados usa-se o teste t pareado (ou teste t para diferenças), que testa a média das diferenças entre pares.
  • Definimos a variável d_i como a diferença para o i-ésimo operador: d_i = X_i - Y_i.
  • Hipóteses para testar se X demora mais que Y:
H_0: \mu_d = 0
H_1: \mu_d > 0
onde \mu_d é a média populacional das diferenças X-Y. É um teste unilateral à direita.
  • Condição de validade: o teste t pareado requer que as diferenças d_i sigam (aproximadamente) uma distribuição normal. O enunciado diz que os dados seguem distribuição normal, então podemos aplicar o teste.

Passo 3

Calcular as diferenças observadas d_i e a média amostral das diferenças \bar d:
d_1 = 80-75 = 5
d_2 = 72-70 = 2
d_3 = 65-60 = 5
d_4 = 78-72 = 6
d_5 = 85-78 = 7
Lista de diferenças: 5,\;2,\;5,\;6,\;7.
Calcule a média amostral:
\bar d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} d_i = \frac{5+2+5+6+7}{5} = \frac{25}{5} = 5.

Passo 4

Calcular a variância amostral e o desvio-padrão das diferenças (explicando a fórmula):
  • Fórmula da variância amostral das diferenças:
s_d^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (d_i - \bar d)^2,
onde n=5 e s_d é o desvio-padrão amostral das diferenças.
  • Calcular as diferenças em relação à média e seus quadrados:
d_1-\bar d = 5-5 = 0 \quad\Rightarrow\quad 0^2 = 0
d_2-\bar d = 2-5 = -3 \quad\Rightarrow\quad (-3)^2 = 9
d_3-\bar d = 5-5 = 0 \quad\Rightarrow\quad 0^2 = 0
d_4-\bar d = 6-5 = 1 \quad\Rightarrow\quad 1^2 = 1
d_5-\bar d = 7-5 = 2 \quad\Rightarrow\quad 2^2 = 4
Soma dos quadrados: 0+9+0+1+4 = 14.
s_d^2 = \frac{14}{n-1} = \frac{14}{4} = 3,5.
s_d = \sqrt{3,5}\approx 1,8708.
(Explicação curta: dividimos por n-1 porque estamos estimando a variância populacional a partir da amostra — é o estimador amostral não viciado.)

Passo 5

Construir a estatística de teste e calcular seu valor (fórmula e interpretação):
  • Fórmula da estatística t para amostras pareadas:
t = \frac{\bar d - \mu_{d,0}}{s_d/\sqrt{n}},
onde \mu_{d,0} é o valor da média sob H_0 (aqui 0), s_d é o desvio-padrão das diferenças e n é o número de pares.
  • Substituindo os valores:
t = \frac{5 - 0}{\sqrt{3,5}/\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{3,5/5}} = \frac{5}{\sqrt{0,7}}.
  • Valor numérico:
\sqrt{0,7}\approx 0,83666\quad\Rightarrow\quad t \approx \frac{5}{0,83666}\approx 5,976.

Passo 6

Regra de decisão usando o valor crítico e conclusão numérica:
  • Graus de liberdade: df = n-1 = 4.
  • Para um teste unilateral à direita com \alpha = 0,10, o valor crítico é t_{1-\alpha,\,df} = t_{0,90,\,4}. Usando tabela t, temos aproximadamente
t_{0,90,\,4} \approx 1,533.
  • Regra: rejeitamos H_0 se t > 1,533.
  • Comparando: t \approx 5,976 > 1,533. Logo rejeitamos H_0.
  • P-valor: com t tão grande e df=4, o p-valor unilateral é muito pequeno; em particular \text{p-valor} < 0,005. Isso confirma que o resultado é altamente significativo mesmo para níveis bem menores que 0,10.

Passo 7

Interpretação final e incentivo (linguagem amiga e didática):
  • Rejeitar H_0 significa que há evidência estatística, ao nível de significância \alpha=0,10, de que a média das diferenças X-Y é positiva — ou seja, que a máquina X demora mais do que a Y.
  • Em termos práticos: a diferença média observada foi de \bar d = 5 minutos, e esse efeito é estatisticamente significativo nas condições do teste (assumindo a normalidade das diferenças).
  • Bom trabalho por encarar a questão! Esse tipo de teste pareado é muito útil quando comparamos tratamentos medidos nas mesmas unidades (aqui, os mesmos operadores).

Resposta

Sim. Rejeita-se H_0; há evidência ao nível \alpha=0,10 de que X demora mais que Y ( t\approx 5,976, df=4, \text{p-valor} < 0,005 ).

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