Ex 8. Para comprovar que a tolerância à glicose em sujeitos com boa saúde tende a aumentar com a idade, realizou-se um teste oral de glicose em duas amostras de pacientes com boa saúde: uma de jovens ( 25 anos ou menos) e outra de adultos (mais de 25 anos). O teste consistiu em medir o nível de glicose (em
) de cada indivíduo passado 60 minutos da ingestão de 100 gramas de glicose. Os resultados foram:
Jovens
136
150
149
141
138
154
141
155
145
147
Adultos
146
150
171
159
159
165
162
180
160
146
Foi utilizado o software R para realização dos cálculos de diversos testes estatísticos:
Shapiro-Wilk normality test
data: jovens
-value
Shapiro-Wilk normality test
data: adultos
-value
F test to compare two variances
data: jovens and adultos
F = 0.3683, num df = 9, denom df = 9,
p-value = 0.1529
> t.test(jovens,adultos, paired=TRUE, alternative="less")
Paired t-test
data: jovens and adultos
-value
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
> t.test(jovens,adultos, var.equal = TRUE, paired=FALSE, alternative="less")
Two Sample t-test
data: jovens and adultos
-value
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
t.test(jovens,adultos, var.equal = FALSE, paired=FALSE, alternative=“less”)
Welch Two Sample t-test
data: jovens and adultos
-value
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
wilcox.test(jovens,adultos, paired=FALSE, alternative=“less”)
Mann Whitney test
data: jovens and adultos
-value
Ha: true location shift is less than 0
Baseado nos resultados acima, responda utilizando 5% de significância:
a) Verifique se os dados seguem distribuição normal e se as variâncias dos dois grupos podem ser consideradas diferentes? Justificando sua resposta apresentando os valores
correspondentes.
b) Verifique se o nível de glicose do grupo de jovens é estatisticamente inferior ao do grupo de adultos, escrevendo a hipótese estatística, o resultado do p -valor e sua conclusão.
| Jovens | 136 | 150 | 149 | 141 | 138 | 154 | 141 | 155 | 145 | 147 |
| Adultos | 146 | 150 | 171 | 159 | 159 | 165 | 162 | 180 | 160 | 146 |
|
|
t.test(jovens,adultos, var.equal = FALSE, paired=FALSE, alternative=“less”)
data: jovens and adultos
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
wilcox.test(jovens,adultos, paired=FALSE, alternative=“less”)
data: jovens and adultos
Ha: true location shift is less than 0
a) Verifique se os dados seguem distribuição normal e se as variâncias dos dois grupos podem ser consideradas diferentes? Justificando sua resposta apresentando os valores
b) Verifique se o nível de glicose do grupo de jovens é estatisticamente inferior ao do grupo de adultos, escrevendo a hipótese estatística, o resultado do p -valor e sua conclusão.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Verificar se os dados de cada grupo seguem distribuição normal e se as variâncias dos dois grupos podem ser consideradas diferentes, apresentando os
-valores correspondentes. - (b) Verificar se o nível de glicose do grupo de jovens é estatisticamente inferior ao do grupo de adultos; escrever as hipóteses, apresentar o
-valor do teste e dar a conclusão ao nível de significância de .
Informações dadas (saídas do R fornecidas no enunciado):
- Testes de normalidade Shapiro–Wilk:
- Jovens:
. - Adultos:
.
- Jovens:
- Teste
para comparar variâncias: -
graus de liberdade e .
-
- Testes para comparar médias (todos com alternativa “less” onde a diferença é definida como
): - Paired t-test (R mostrou):
. - Two-sample t-test com variâncias iguais (pooled):
. - Welch (variâncias diferentes):
. - Mann–Whitney (teste não paramétrico):
.
- Paired t-test (R mostrou):
- Dados brutos (peguei da tabela do enunciado):
- Jovens:
. - Adultos:
.
- Jovens:
Passo 2
O que é o teste de Shapiro–Wilk e como interpretá-lo (aula curtinha):
- Objetivo: avaliar se uma amostra pode ser considerada proveniente de uma população normal.
- Hipóteses:
-
: a amostra vem de uma distribuição normal. -
: a amostra não vem de uma distribuição normal.
-
- Regra de decisão: escolher um nível de significância
(aqui ). Se -valor , rejeita-se (não é normal). Se -valor , não rejeita-se (não há evidência contra normalidade). - Aplicação aos dados (usar os
-valores informados): - Jovens:
. Como , não rejeitamos — a amostra de jovens é compatível com normalidade. - Adultos:
. Como , não rejeitamos — a amostra de adultos é compatível com normalidade.
- Jovens:
- Conclusão didática: ambas as amostras não apresentam evidência suficiente para descartar a normalidade ao nível de
.
Passo 3
O que é o teste
para igualdade de variâncias e como interpretá-lo:
- Objetivo: testar se as variâncias de duas populações são iguais.
- Hipóteses:
-
: . -
: .
-
- Estatística:
(razão de variâncias amostrais), com graus de liberdade . - Regra de decisão: ao nível
, se -valor rejeita-se (variâncias diferentes); caso contrário, não rejeita-se . - Aplicação com os valores dados:
-
e . - Como
, não rejeitamos — não há evidência suficiente para afirmar que as variâncias sejam diferentes.
-
- Conclusão didática: com base no teste
ao nível de , podemos considerar as variâncias dos dois grupos como iguais (ou seja, não há prova estatística de diferença entre as variâncias).
Passo 4
Observação sobre testes pareados vs independentes (por que não usar o paired t-test aqui):
- Teste pareado exige que cada observação de um grupo esteja emparelhada com exatamente uma observação do outro (ex.: medida antes/depois na mesma pessoa ou pares naturalmente relacionados).
- No enunciado temos duas amostras de sujeitos diferentes (jovens e adultos), sem emparelhamento natural indicado. Portanto as amostras são independentes.
- Logo o paired t-test não é apropriado; o
-valor do paired t-test ( ) não deve ser usado para concluir aqui. - Como temos normalidade em cada grupo e nenhuma evidência de variâncias desiguais (Passos 2 e 3), o procedimento adequado é o two-sample t-test com variâncias iguais (pooled) — o que o R também fez e apresentou
. Também é prudente olhar o teste de Welch e um teste não paramétrico (Mann–Whitney) como checagem de robustez — todos deram conforme os resultados fornecidos.
Passo 5
Formular as hipóteses para a pergunta “o nível de glicose dos jovens é inferior ao dos adultos”:
- Definir a diferença como
. - Hipóteses (uma cauda, “menos”):
-
(ou, em termos direcionais, ; hipótese nula indica que jovens não têm média menor). -
(a média dos jovens é menor que a dos adultos).
-
- Nível de significância:
. - Rejeitamos
se o -valor do teste unilateral for menor que .
Passo 6
Cálculo do teste
com variâncias iguais (explicando as fórmulas e mostrando os cálculos numéricos):
- Definições e fórmulas:
-
e : tamanhos amostrais (aqui ). -
e : médias amostrais dos grupos jovens e adultos. -
e : variâncias amostrais (amostral, divisor ). - Variância pooled (comum) estimada:
- Estatística
(two-sample pooled): com .
-
- Cálculos com os dados (peguei os resultados intermediários a partir dos dados fornecidos):
- Médias amostrais:
- Variâncias amostrais (com divisor
): (esses valores vêm do somatório dos quadrados dos desvios; correspondem ao quando se faz ). - Variância pooled:
Assim . - Estatística
: Os graus de liberdade são .
- Médias amostrais:
- Resultado e interpretação:
- O R forneceu o
-valor unilateral correspondente para o test pooled: (ou seja ). - Portanto rejeitamos
em favor de : há evidência significativa de que .
- O R forneceu o
- Verificação de robustez:
- Welch (não assumir variâncias iguais) deu
— também . - Mann–Whitney (não paramétrico) deu
— também . - Todos os testes relevantes apontam na mesma direção: média dos jovens é menor.
- Welch (não assumir variâncias iguais) deu
Passo 7
Conclusão final interpretada no contexto (motivação e resposta ao enunciado):
- Como ambos os grupos são compatíveis com normalidade (Shapiro–Wilk com
-valores e ) e o teste não mostrou diferença significativa de variâncias ( ), o uso do two-sample t-test com variância pooled é apropriado. - Esse teste (one-sided, hipótese de que jovens têm média menor) deu
e . Como , rejeitamos e concluímos que, ao nível de , o nível de glicose do grupo de jovens é estatisticamente inferior ao do grupo de adultos. - Observação encorajadora: testes alternativos (Welch e Mann–Whitney) confirmam a mesma conclusão, então o resultado é robusto.
Resposta
(a) Ambos os grupos são compatíveis com normalidade: Shapiro–Wilk jovens
, adultos
. Teste
de igualdade de variâncias:
; como
, não há evidência de variâncias diferentes (podem ser consideradas iguais).
(b) Hipóteses: versus
. Usando two-sample t-test com variâncias iguais:
. Como
, rejeita-se
e conclui-se que o nível de glicose dos jovens é estatisticamente inferior ao dos adultos (resultado corroborado por Welch
e Mann–Whitney
).
(b) Hipóteses: