Ex 8. Para comprovar que a tolerância à glicose em sujeitos com boa saúde tende a aumentar com a idade, realizou-se um teste oral de glicose em duas amostras de pacientes com boa saúde: uma de jovens ( 25 anos ou menos) e outra de adultos (mais de 25 anos). O teste consistiu em medir o nível de glicose (em \mathrm{mg} / 100 \mathrm{ml} ) de cada indivíduo passado 60 minutos da ingestão de 100 gramas de glicose. Os resultados foram:
Jovens 136 150 149 141 138 154 141 155 145 147
Adultos 146 150 171 159 159 165 162 180 160 146
Foi utilizado o software R para realização dos cálculos de diversos testes estatísticos:
Shapiro-Wilk normality test
data: jovens
\mathrm{W}=0.9546, \mathrm{p}-value =0.7228
Shapiro-Wilk normality test
data: adultos
\mathrm{W}=0.942, \mathrm{p}-value =0.5757
F test to compare two variances
data: jovens and adultos
F = 0.3683, num df = 9, denom df = 9,
p-value = 0.1529
> t.test(jovens,adultos, paired=TRUE, alternative="less")
Paired t-test
data: jovens and adultos
\mathrm{t}=-4.9335, \mathrm{df}=9, \mathrm{p}-value =0.0004047
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
> t.test(jovens,adultos, var.equal = TRUE, paired=FALSE, alternative="less")
Two Sample t-test
data: jovens and adultos \mathrm{t}=-3.5649, \mathrm{df}=18, \mathrm{p}-value =1.107 \mathrm{e}-03 alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
t.test(jovens,adultos, var.equal = FALSE, paired=FALSE, alternative=“less”)
Welch Two Sample t-test
data: jovens and adultos
\mathrm{t}=-3.5649, \mathrm{df}=14.838, \mathrm{p}-value =1.432 \mathrm{e}-03
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
wilcox.test(jovens,adultos, paired=FALSE, alternative=“less”)
Mann Whitney test
data: jovens and adultos
\mathrm{W}=12.5, \mathrm{p}-value =0.002546
Ha: true location shift is less than 0
Baseado nos resultados acima, responda utilizando 5% de significância:
a) Verifique se os dados seguem distribuição normal e se as variâncias dos dois grupos podem ser consideradas diferentes? Justificando sua resposta apresentando os valores p correspondentes.
b) Verifique se o nível de glicose do grupo de jovens é estatisticamente inferior ao do grupo de adultos, escrevendo a hipótese estatística, o resultado do p -valor e sua conclusão.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Verificar se os dados de cada grupo seguem distribuição normal e se as variâncias dos dois grupos podem ser consideradas diferentes, apresentando os p-valores correspondentes.
  • (b) Verificar se o nível de glicose do grupo de jovens é estatisticamente inferior ao do grupo de adultos; escrever as hipóteses, apresentar o p-valor do teste e dar a conclusão ao nível de significância de 5\%.
Informações dadas (saídas do R fornecidas no enunciado):
  • Testes de normalidade Shapiro–Wilk:
    • Jovens: W=0,9546,\; p\text{-value}=0,7228.
    • Adultos: W=0,9420,\; p\text{-value}=0,5757.
  • Teste F para comparar variâncias:
    • F=0,3683, graus de liberdade =9 e 9,\; p\text{-value}=0,1529.
  • Testes para comparar médias (todos com alternativa “less” onde a diferença é definida como \text{jovens} - \text{adultos}):
    • Paired t-test (R mostrou): t=-4,9335,\; df=9,\; p=0,0004047.
    • Two-sample t-test com variâncias iguais (pooled): t=-3,5649,\; df=18,\; p=0,001107.
    • Welch (variâncias diferentes): t=-3,5649,\; df=14,838,\; p=0,001432.
    • Mann–Whitney (teste não paramétrico): W=12,5,\; p=0,002546.
  • Dados brutos (peguei da tabela do enunciado):
    • Jovens: 136,150,149,141,138,154,141,155,145,147.
    • Adultos: 146,150,171,159,159,165,162,180,160,146.

Passo 2

O que é o teste de Shapiro–Wilk e como interpretá-lo (aula curtinha):
  • Objetivo: avaliar se uma amostra pode ser considerada proveniente de uma população normal.
  • Hipóteses:
    • H_0: a amostra vem de uma distribuição normal.
    • H_a: a amostra não vem de uma distribuição normal.
  • Regra de decisão: escolher um nível de significância \alpha (aqui \alpha=0,05). Se p-valor <\alpha, rejeita-se H_0 (não é normal). Se p-valor \ge\alpha, não rejeita-se H_0 (não há evidência contra normalidade).
  • Aplicação aos dados (usar os p-valores informados):
    • Jovens: p\text{-value}=0,7228. Como 0,7228>0,05, não rejeitamos H_0 — a amostra de jovens é compatível com normalidade.
    • Adultos: p\text{-value}=0,5757. Como 0,5757>0,05, não rejeitamos H_0 — a amostra de adultos é compatível com normalidade.
  • Conclusão didática: ambas as amostras não apresentam evidência suficiente para descartar a normalidade ao nível de 5\%.

Passo 3

O que é o teste F para igualdade de variâncias e como interpretá-lo:
  • Objetivo: testar se as variâncias de duas populações são iguais.
  • Hipóteses:
    • H_0: \sigma_{jovens}^2 = \sigma_{adultos}^2.
    • H_a: \sigma_{jovens}^2 \ne \sigma_{adultos}^2.
  • Estatística: F = \dfrac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} (razão de variâncias amostrais), com graus de liberdade (n_1-1,\, n_2-1).
  • Regra de decisão: ao nível \alpha=0,05, se p-valor <0,05 rejeita-se H_0 (variâncias diferentes); caso contrário, não rejeita-se H_0.
  • Aplicação com os valores dados:
    • F=0,3683 e p\text{-value}=0,1529.
    • Como 0,1529>0,05, não rejeitamos H_0 — não há evidência suficiente para afirmar que as variâncias sejam diferentes.
  • Conclusão didática: com base no teste F ao nível de 5\%, podemos considerar as variâncias dos dois grupos como iguais (ou seja, não há prova estatística de diferença entre as variâncias).

Passo 4

Observação sobre testes pareados vs independentes (por que não usar o paired t-test aqui):
  • Teste pareado exige que cada observação de um grupo esteja emparelhada com exatamente uma observação do outro (ex.: medida antes/depois na mesma pessoa ou pares naturalmente relacionados).
  • No enunciado temos duas amostras de sujeitos diferentes (jovens e adultos), sem emparelhamento natural indicado. Portanto as amostras são independentes.
  • Logo o paired t-test não é apropriado; o p-valor do paired t-test ( 0,0004047) não deve ser usado para concluir aqui.
  • Como temos normalidade em cada grupo e nenhuma evidência de variâncias desiguais (Passos 2 e 3), o procedimento adequado é o two-sample t-test com variâncias iguais (pooled) — o que o R também fez e apresentou p=0,001107. Também é prudente olhar o teste de Welch e um teste não paramétrico (Mann–Whitney) como checagem de robustez — todos deram p<0,05 conforme os resultados fornecidos.

Passo 5

Formular as hipóteses para a pergunta “o nível de glicose dos jovens é inferior ao dos adultos”:
  • Definir a diferença como \delta = \mu_{jovens} - \mu_{adultos}.
  • Hipóteses (uma cauda, “menos”):
    • H_0:\\ \delta = 0 (ou, em termos direcionais, \delta \ge 0; hipótese nula indica que jovens não têm média menor).
    • H_a:\\ \delta < 0 (a média dos jovens é menor que a dos adultos).
  • Nível de significância: \alpha=0,05.
  • Rejeitamos H_0 se o p-valor do teste unilateral for menor que 0,05.

Passo 6

Cálculo do teste t com variâncias iguais (explicando as fórmulas e mostrando os cálculos numéricos):
  • Definições e fórmulas:
    • n_1 e n_2: tamanhos amostrais (aqui n_1=n_2=10).
    • \bar{x}_1 e \bar{x}_2: médias amostrais dos grupos jovens e adultos.
    • s_1^{2} e s_2^{2}: variâncias amostrais (amostral, divisor n-1).
    • Variância pooled (comum) estimada: s_p^{2} = \frac{(n_1-1)s_1^{2} + (n_2-1)s_2^{2}}{n_1+n_2-2}.
    • Estatística t (two-sample pooled): t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}com df = n_1+n_2-2.
  • Cálculos com os dados (peguei os resultados intermediários a partir dos dados fornecidos):
    • Médias amostrais: \bar{x}_{jovens} = \frac{1456}{10} = 145,6,\qquad \bar{x}_{adultos} = \frac{1598}{10} = 159,8.
    • Variâncias amostrais (com divisor n-1=9): s_1^{2} \approx 42,7111,\qquad s_2^{2} \approx 115,9556.(esses valores vêm do somatório dos quadrados dos desvios; correspondem ao F=0,3683 quando se faz s_1^{2}/s_2^{2}).
    • Variância pooled: s_p^{2} = \frac{9\cdot 42,7111 + 9\cdot 115,9556}{18} = \frac{1428}{18} = 79,3333.Assim s_p \approx 8,912.
    • Estatística t: t = \frac{145,6 - 159,8}{8,912\sqrt{\tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{10}}} = \frac{-14,2}{8,912\sqrt{0,2}} \approx -3,5649.Os graus de liberdade são df=10+10-2=18.
  • Resultado e interpretação:
    • O R forneceu o p-valor unilateral correspondente para o test pooled: p\text{-value}=0,001107 (ou seja 0,001107<0,05).
    • Portanto rejeitamos H_0 em favor de H_a: há evidência significativa de que \mu_{jovens} < \mu_{adultos}.
  • Verificação de robustez:
    • Welch (não assumir variâncias iguais) deu p=0,001432 — também <0,05.
    • Mann–Whitney (não paramétrico) deu p=0,002546 — também <0,05.
    • Todos os testes relevantes apontam na mesma direção: média dos jovens é menor.

Passo 7

Conclusão final interpretada no contexto (motivação e resposta ao enunciado):
  • Como ambos os grupos são compatíveis com normalidade (Shapiro–Wilk com p-valores 0,7228 e 0,5757) e o teste F não mostrou diferença significativa de variâncias ( p=0,1529), o uso do two-sample t-test com variância pooled é apropriado.
  • Esse teste (one-sided, hipótese de que jovens têm média menor) deu t\approx -3,5649 e p\text{-value}=0,001107. Como 0,001107<0,05, rejeitamos H_0 e concluímos que, ao nível de 5\%, o nível de glicose do grupo de jovens é estatisticamente inferior ao do grupo de adultos.
  • Observação encorajadora: testes alternativos (Welch e Mann–Whitney) confirmam a mesma conclusão, então o resultado é robusto.

Resposta

(a) Ambos os grupos são compatíveis com normalidade: Shapiro–Wilk jovens p=0,7228, adultos p=0,5757. Teste F de igualdade de variâncias: F=0,3683,\; p=0,1529; como p>0,05, não há evidência de variâncias diferentes (podem ser consideradas iguais).
(b) Hipóteses: H_0:\\ \mu_{jovens}=\mu_{adultos} versus H_a:\\ \mu_{jovens}<\mu_{adultos}. Usando two-sample t-test com variâncias iguais: t\approx -3,5649,\; df=18,\; p=0,001107. Como p=0,001107<0,05, rejeita-se H_0 e conclui-se que o nível de glicose dos jovens é estatisticamente inferior ao dos adultos (resultado corroborado por Welch p=0,001432 e Mann–Whitney p=0,002546).

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