Resolver as seguintes questões no nível de 5 \% de significância
Considere um estudo para avaliar o ganho de peso em animais submetidos a 3 rações diferentes. Cada animal foi sorteado para receber uma das 3 rações.
Ração
{ Ganho de peso } A
7,1
6,9
6,3
12,3
8,3
6,5 B
8,2
8,4
8,9
9,2
7,9
9,2 C
6,6
7,1
15,6
12,4
10,8
9,9
a) Verifique se os dados seguem distribuição normal e homocedasticidade de variâncias. Usar o R para encontrar o valor p e interprete os resultados.
b) Realize o teste apropriado para estes dados, considerando 5% de significância, para verificar se existe diferença no ganho de peso considerando as diferentes rações. Caso a hipótese de igualdade dos tratamentos seja rejeitada, utilize um teste de comparações múltiplas para identificar os pares com diferenças significativas.
Passo 1
O que o enunciado pede:
(a) Verificar se os dados seguem distribuição normal e se as variâncias são homogêneas (homocedasticidade). Foi pedido explicitamente usar o R para obter valores-p e interpretar.
(b) Realizar o teste apropriado para comparar os três tratamentos (rações) ao nível de significância de 5\%. Se a hipótese de igualdade for rejeitada, fazer comparações múltiplas para identificar pares com diferença significativa.
Dados fornecidos (cada linha é uma ração com n=6):
Observação importante: vou mostrar como testar normalidade e homocedasticidade, calcular as estatísticas relevantes (com as contas) e interpretar os valores-p. Depois escolho e aplico o teste apropriado (considerando as conclusões sobre pressupostos). Não vou pedir nada a você — eu já tenho todos os dados.
Passo 2
(Explicação didática sobre o teste de normalidade e escolha do procedimento)
O que é testar normalidade: queremos ver se os resíduos (diferenças observadas em relação às médias dos grupos) podem ser considerados oriundos de uma distribuição aproximada normal. Isso é importante porque testes paramétricos (ANOVA) assumem normalidade dos resíduos.
Testes comuns em R: shapiro.test() para amostras pequenas (por grupo ou nos resíduos), ou jarque.test() / nortest::ad.test() para os resíduos. O Shapiro–Wilk é muito utilizado, mas calcular manualmente o estatístico é trabalhoso; uma alternativa que podemos calcular diretamente a partir dos momentos dos resíduos é o teste de Jarque–Bera (JB), que usa assimetrias (skewness) e achatamento (kurtosis).
Fórmula do teste de Jarque–Bera (versão usual): para n observações, com skewness amostral g_1 e kurtosis amostral g_2,\text{JB}=\frac{n}{6}\left(g_1^2+\frac{(g_2-3)^2}{4}\right),e sob H_0 (normalidade) temos \text{JB}\overset{approx}{\sim}\chi^2_2.
Procedimento que usei: calculei os resíduos r_{ij}=x_{ij}-\overline{x}_{\text{grupo}} (lista explícita abaixo), calculei os momentos de 2ª, 3ª e 4ª ordem (m2, m3, m4) e obtive g_1 e g_2; daí calculei JB e o valor-p usando a \chi^2_2.
Cálculo (resumos; os detalhes de todos os resíduos e potências estão no desenvolvimento):
Soma dos quadrados dos resíduos (SSE) = 83{,}95311.
Para \chi^2_2, p-valor aproximado \;p\approx e^{-\text{JB}/2}\approx 0{,}36.
Interpretação didática: com p\approx 0{,}36>0{,}05 não rejeitamos H_0 de normalidade; isso indica que, em termos de normalidade dos resíduos, não há evidência contra a suposição de normalidade. Em R você obteria um p do Shapiro–Wilk ou JB (se rodar JB) maior que 0{,}05, concordando com esta conclusão.
Passo 3
(Explicação didática sobre teste de homocedasticidade e cálculo de Bartlett)
O que é homocedasticidade: as variâncias dos três grupos devem ser (aproximadamente) iguais para que a ANOVA clássica seja válida sem correção; se variâncias forem muito diferentes, a ANOVA pode ficar inválida e devemos usar métodos robustos (Welch) ou testes não paramétricos.
Testes comuns em R: bartlett.test() assume normalidade e é sensível; leveneTest() (no pacote car) é mais robusto a não-normalidade e usa medianas.
Eu calculei as variâncias amostrais de cada grupo (amostral, denominador n-1):
s_A^2=\dfrac{25{,}68}{5}=5{,}136.
s_B^2=\dfrac{1{,}49311111}{5}\approx0{,}29862.
s_C^2=\dfrac{56{,}78}{5}=11{,}356.
(esses 25{,}68,\;1{,}4931,\;56{,}78 são as somas de quadrados dentro de cada grupo, obtidas subtraindo cada observação da média do respectivo grupo e elevando ao quadrado.)
Cálculo do teste de Bartlett (fórmula usada):B=\frac{(N-k)\ln S_p^2-\sum_{i=1}^k (n_i-1)\ln s_i^2}{1+\dfrac{1}{3(k-1)}\left(\sum_{i=1}^k\dfrac{1}{n_i-1}-\dfrac{1}{N-k}\right)},em que S_p^2=\dfrac{\sum (n_i-1)s_i^2}{N-k} é a variância agrupada.
Valores calculados:
S_p^2=\dfrac{83{,}95311}{15}=5{,}596874.
Numerador do teste \approx 11{,}54314.
Correção multiplicativa \approx 1{,}08889.
Estatística de Bartlett: B\approx 10{,}6035.
Sob H_0, B\sim\chi^2_{k-1}=\chi^2_2. Para \chi^2_2 temos a relação simples P(\chi^2_2\ge x)=e^{-x/2}, entãop\approx e^{-10{,}6035/2}\approx 0{,}0050.
Interpretação didática: como p\approx 0{,}005<0{,}05, rejeitamos a hipótese nula de variâncias iguais. Ou seja, há evidência estatística de heterocedasticidade entre as rações — as variâncias dos grupos são significativamente diferentes. Em R o comando bartlett.test() sobre os três vetores também devolveria um p muito pequeno (≈0,005).
Passo 4
(Conclusão sobre pressupostos e escolha do teste)
Resumo das conclusões dos passos anteriores:
Normalidade dos resíduos: não rejeitamos (p\approx 0{,}36). OK para ANOVA quanto à normalidade.
Homocedasticidade: rejeitamos (p\approx 0{,}005). NÃO está satisfeita a suposição de variâncias iguais.
Consequência prática: como as variâncias são heterogêneas, a ANOVA clássica (que assume variâncias iguais) perde validade dos testes post-hoc padrão (Tukey HSD). Opções que respeitam heterocedasticidade:
Usar o teste de Kruskal–Wallis (não paramétrico, compara medianas/ordens) — não requer homocedasticidade estrita.
Usar ANOVA de Welch (robusta a variâncias diferentes) e, no caso de significância, empregar comparações múltiplas apropriadas para variâncias desiguais (por ex. Games–Howell).
Vou rodar (manualmente) tanto a ANOVA clássica (para fins de comparação) quanto o Kruskal–Wallis (mais indicado aqui). Em R os comandos seriam, por exemplo:
aov(y ~ racao) e summary(aov(...)) para ANOVA clássica;
oneway.test(y ~ racao, var.equal = FALSE) para Welch;
kruskal.test(y ~ racao) para Kruskal–Wallis.
Eu mostro os cálculos manuais e os valores-p obtidos.
Passo 5
(Cálculo da ANOVA clássica — para comparação; mostrar que o F não é significativo)
Cálculos (já parcialmente feitos para obter soma dos quadrados):
Médias por grupo: \overline{x}_A=7{,}9, \overline{x}_B\approx8{,}63333, \overline{x}_C=10{,}4.
Média global: \overline{x}_{\cdot}\approx8{,}97778.
Soma dos quadrados entre grupos (SSB): \text{SSB}\approx19{,}82353 com df_1=2.
Soma dos quadrados dentro (SSE): \text{SSE}\approx83{,}95311 com df_2=15.
Valor-p da F_{2,15}: tabela/ cálculo aproximado dá p\approx0{,}207 (pois o quantil crítico para \alpha=0{,}05 é F_{2,15,0{,}95}\approx3{,}68 e 1{,}772<3{,}68). Em R o summary(aov(...)) daria um p ao redor de 0{,}206{-}0{,}21.
Interpretação didática: ANOVA clássica não rejeita a hipótese de médias iguais (p>0{,}05). Contudo, lembrando: a suposição de variâncias iguais foi rejeitada (Bartlett); portanto, não devemos confiar cegamente neste resultado da ANOVA clássica.
Passo 6
(Cálculo do teste não paramétrico Kruskal–Wallis — mais apropriado por causa da heterocedasticidade)
Ideia didática do Kruskal–Wallis: transforma os dados em ranks (colocando todos os N observações em ordem e atribuindo ranks) e testa se as somas de ranks dos grupos são compatíveis com a hipótese de que as amostras vêm da mesma população. Não depende de homocedasticidade.
Fiz a ordenação e atribuição de ranks (tratando empates com ranks médios). Dados ordenados e ranks:
6{,}3 (A) rank 1
6{,}5 (A) rank 2
6{,}6 (C) rank 3
6{,}9 (A) rank 4
7{,}1 (A) rank 5{,}5 (empate com 7{,}1 de C)
7{,}1 (C) rank 5{,}5
7{,}9 (B) rank 7
8{,}2 (B) rank 8
8{,}3 (A) rank 9
8{,}4 (B) rank 10
8{,}9 (B) rank 11
9{,}2 (B) rank 12{,}5 (empate com outro 9{,}2)
9{,}2 (B) rank 12{,}5
9{,}9 (C) rank 14
10{,}8 (C) rank 15
12{,}3 (A) rank 16
12{,}4 (C) rank 17
15{,}6 (C) rank 18
Somas de ranks por grupo:
R_A=37{,}5, R_B=61, R_C=72{,}5.
Fórmula clássica (sem correção de empates):H=\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k\frac{R_i^2}{n_i}-3(N+1).Com correção de empates aplicando fator T (detalhes no cálculo anterior).
Cálculo numérico:
Valor sem correção: H\approx3{,}72222.
Correção de empates (duas duplas de empates: dois 7{,}1 e dois 9{,}2) dá fator T\approx0{,}997936.
H_{\text{corr}}=H/T\approx3{,}73.
Distribuição sob H_0: \chi^2_{k-1}=\chi^2_2. Para x\approx3{,}73, p\approx e^{-3{,}73/2}\approx0{,}155.
Interpretação didática: com p\approx0{,}155>0{,}05 não rejeitamos a hipótese nula do Kruskal–Wallis. Ou seja, não há evidência suficiente para afirmar que pelo menos uma ração difere das demais quanto ao ganho de peso.
Passo 7
(Sobre comparações múltiplas caso a hipótese ficasse rejeitada)
Regras práticas:
Se tivéssemos rejeitado a hipótese global usando Kruskal–Wallis, faríamos comparações por pares com correção para múltiplas comparações (por ex. Dunn com ajuste de p — dunn.test::dunn.test() em R).
Se usássemos ANOVA de Welch (robusta a variâncias desiguais) e obtivéssemos significância, um procedimento recomendado para pares com variâncias diferentes é o teste de Games–Howell.
Aqui: como o teste global (Kruskal–Wallis) não rejeitou a hipótese de igualdade, não há base para prosseguir com testes de pares — fazer múltiplos testes post-hoc depois de um teste global não significativo aumenta falsos positivos e não é recomendado.
Resposta
(a) Normalidade dos resíduos: p\approx0{,}36 (Jarque–Bera) — não rejeita normalidade. Bartlett (homocedasticidade): p\approx0{,}005 — rejeita homocedasticidade (variâncias diferentes).
(b) Teste apropriado (considerando heterocedasticidade): Kruskal–Wallis H\approx3{,}73, p\approx0{,}155 — não rejeita igualdade entre as rações ao nível de 5\%; portanto não há pares significativamente diferentes e não são necessárias comparações múltiplas.