Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas.
y=1 / x, y=x^2, y=0, x=e

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a área da região do plano que é limitada por
  • a curva superior y=x^2 até seu ponto de encontro com y=tfrac1x,
  • depois pela curva superior y=tfrac1x até a reta x=e,
  • pela reta inferior y=0 (o eixo x),
  • e finalmente pela reta vertical x=e.
    O ponto de interseção de y=x^2 com y=tfrac1x satisfaz
x^2=1x Longrightarrow x^3=1 Longrightarrow x=1,
com y=1. Vamos usar integração em x, separando a região em dois trechos: de x=0 a x=1 e de x=1 a x=e.

Passo 2

Para 0<= x<=1, as curvas envolvidas são y=0 por baixo e y=x^2 por cima (pois para x<1 verifica-se x^2<1/x). A área desse trecho é
A1=integral0^1l(x^2-0r),dx =integral0^1x^2,dx =[x^33]0^1 =13

Passo 3

Para 1<= x<= e, as curvas envolvidas são y=0 por baixo e y=tfrac1x por cima (pois para x>1 verifica-se 1/x<x^2, então a região quer a parte até y=1/x). A área desse trecho é
A2=integral1^el(tfrac1x-0r),dx =integral1^e1x,dx =l[ln xr]1^e =ln e-ln1 =1

Passo 4

A área total é a soma dos dois trechos:
A = A1 + A2 = 13 + 1 = 43

Resposta

43

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