.165 Resolver a equação 6 x^{3}+7 x^{2}-14 x-15=0, sabendo que uma das raízes é -1 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação 6x^{3}+7x^{2}-14x-15=0 sabendo que uma das raízes é -1.\n
Informações dadas que vamos usar:
\text{Polinômio: }6x^{3}+7x^{2}-14x-15ô
\text{Uma raiz conhecida: }x=-1
\text{Objetivo: encontrar todas as raízes (ou seja, todos os }x\text{ que satisfazem a equação).}íçã

Passo 2

Conceito importante (explicado de forma direta): quando dizemos que -1 é raiz de um polinômio, isso significa que, ao substituir x=-1 no polinômio, obtemos zero. Pela propriedade de polinômios, se r é raiz então (x-r) é um fator do polinômio. Como a raiz dada é -1, o fator correspondente é (x-(-1))=(x+1). Portanto podemos dividir o polinômio por (x+1) para reduzir o grau e encontrar os demais fatores.

Passo 3

Vamos dividir o polinômio por (x+1) usando divisão sintética (muito prática e rápida). Escrevemos os coeficientes do polinômio em ordem decrescente de grau: 6,\;7,\;-14,\;-15. Usamos o número -1 (a raiz) na sintética.
Procedimento sintético:
\begin{array}{r|rrrr} -1 & 6 & 7 & -14 & -15\\hline & & -6 & -1 & 15\\\ & 6 & 1 & -15 & 0 \end{array}
Como obter essas linhas:
  • A primeira coluna “desce” o 6.
  • Multiplica-se -1 por 6 dando -6, soma com 7 1.
  • Multiplica-se -1 por 1 dando -1, soma com -14 -15.
  • Multiplica-se -1 por -15 dando 15, soma com -15 0 (resto zero, confirma que -1 é raiz).
O resultado mostra que o quociente é o polinômio quadrático
6x^{2}+1x-15.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
6x^{2}+x-15=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes do polinômio (neste caso a=6, b=1, c=-15). Aqui:
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot 6\cdot(-15)=1+360=361.
Observação didática: \Delta (o discriminante) indica a natureza das raízes; como \Delta=361=19^{2} é um quadrado perfeito, as raízes serão racionais simples de calcular.
Aplicando a fórmula:
x=\frac{-1\pm\sqrt{361}}{2\cdot 6}=\frac{-1\pm 19}{12}.

Passo 5

Calculamos as duas possibilidades:
x=\frac{-1+19}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2},
x=\frac{-1-19}{12}=\frac{-20}{12}=\frac{-5}{3}.
Sempre que houver frações, simplifique dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum (no primeiro caso 18/12 simplifica por 6 dando 3/2; no segundo caso -20/12 simplifica por 4 dando -5/3).

Passo 6

Verificação rápida (boa prática na prova): multiplicando os fatores obtidos (x+1)(6x^{2}+x-15) deve retornar o polinômio original. Podemos confiar na divisão sintética e no cálculo do discriminante, e os números são simples e consistentes com a verificação (resto zero na divisão e discriminante quadrado perfeito).

Resposta

-1
\tfrac{3}{2}
-\tfrac{5}{3}

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