.165 Resolver a equação
, sabendo que uma das raízes é -1 .
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
sabendo que uma das raízes é
.\n
Informações dadas que vamos usar:
Passo 2
Conceito importante (explicado de forma direta): quando dizemos que
é raiz de um polinômio, isso significa que, ao substituir
no polinômio, obtemos zero. Pela propriedade de polinômios, se
é raiz então
é um fator do polinômio. Como a raiz dada é
, o fator correspondente é
. Portanto podemos dividir o polinômio por
para reduzir o grau e encontrar os demais fatores.
Passo 3
Vamos dividir o polinômio por
usando divisão sintética (muito prática e rápida). Escrevemos os coeficientes do polinômio em ordem decrescente de grau:
. Usamos o número
(a raiz) na sintética.
Procedimento sintético:
Como obter essas linhas:
- A primeira coluna “desce” o
. - Multiplica-se
por dando , soma com dá . - Multiplica-se
por dando , soma com dá . - Multiplica-se
por dando , soma com dá (resto zero, confirma que é raiz).
O resultado mostra que o quociente é o polinômio quadrático
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
, as raízes são dadas por
onde
,
e
são os coeficientes do polinômio (neste caso
,
,
). Aqui:
Observação didática:
(o discriminante) indica a natureza das raízes; como
é um quadrado perfeito, as raízes serão racionais simples de calcular.
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Calculamos as duas possibilidades:
Sempre que houver frações, simplifique dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum (no primeiro caso
simplifica por
dando
; no segundo caso
simplifica por
dando
).
Passo 6
Verificação rápida (boa prática na prova): multiplicando os fatores obtidos
deve retornar o polinômio original. Podemos confiar na divisão sintética e no cálculo do discriminante, e os números são simples e consistentes com a verificação (resto zero na divisão e discriminante quadrado perfeito).