Questão 4 Ainda não respondida
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Sobre a função f(t)=\operatorname{Cos}(a t)+\operatorname{Sen}(a t), sabemos que
\left.\frac{d^{2023} f}{d t^{2023}}\right|_{t=\frac{\pi}{3 a}}=3
Isto é possível porque
() i. a=\sqrt[2023]{\frac{3}{\sqrt{3}+1}}
() ii. \quad a=\sqrt[2023]{\frac{6}{\sqrt{3}-1}}
() iii. a=\sqrt[2023]{\frac{3}{\sqrt{3}-1}}
() iv. a=\sqrt[2023]{\frac{2}{\sqrt{3}-1}}
() v. a=\sqrt[2023]{\frac{6}{\sqrt{3}+1}}
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Passo 1

O enunciado fornece a função f(t)=\cos(a t)+\sin(a t) e informa que a derivada de ordem 2023, avaliada em t=\dfrac{\pi}{3a}, vale 3:
\left.\frac{d^{2023} f}{d t^{2023}}\right|_{t=\frac{\pi}{3 a}}=3.
O que a questão pede: determinar qual das alternativas dadas para a torna essa igualdade verdadeira. Dados importantes fornecidos:
\text{função: } f(t)=\cos(a t)+\sin(a t),\qquad n=2023,\qquad t_0=\frac{\pi}{3a},çã
e a informação numérica
\left.\frac{d^{2023} f}{d t^{2023}}\right|_{t=t_0}=3.

Passo 2

Vamos entender como se comportam as derivadas sucessivas de \cos(at) e \sin(at). É útil observar as primeiras derivadas e ver o padrão:
\frac{d}{dt}\cos(at) = -a\sin(at),
\frac{d^2}{dt^2}\cos(at) = -a^2\cos(at),
\frac{d^3}{dt^3}\cos(at) = a^3\sin(at),
\frac{d^4}{dt^4}\cos(at) = a^4\cos(at).
Perceba que a cada derivação multiplica-se por a e “rotaciona-se” a função trigonométrica passando por uma sequência \cos\to -\sin\to -\cos\to \sin\to \cos, que corresponde a somar \tfrac{\pi}{2} no argumento da cosseno (ou seno) a cada derivada. Dessa observação obtemos a fórmula geral (muito usada em provas):
\frac{d^{n}}{dt^{n}}\cos(at)=a^{n}\cos\!\left(at+\frac{n\pi}{2}\right).
De modo análogo, para o seno temos a mesma rotação:
\frac{d^{n}}{dt^{n}}\sin(at)=a^{n}\sin\!\left(at+\frac{n\pi}{2}\right).
Aqui a^{n} aparece porque cada diferenciação traz um fator a, e o deslocamento \tfrac{n\pi}{2} no argumento junta os sinais e trocas entre seno/cosseno.

Passo 3

Aplicando essas fórmulas à soma, a derivada de ordem n de f é
\frac{d^{n}f}{dt^{n}}(t)=a^{n}\Bigl(\cos\!\bigl(at+\tfrac{n\pi}{2}\bigr)+\sin\!\bigl(at+\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr).
Agora vamos avaliar essa expressão no ponto t_0=\dfrac{\pi}{3a} e colocar n=2023. O argumento comum será
at_0+\frac{n\pi}{2}=a\cdot\frac{\pi}{3a}+\frac{2023\pi}{2}=\frac{\pi}{3}+\frac{2023\pi}{2}.

Passo 4

Para simplificar o ângulo usemos a periodicidade de \frac{\pi}{2} vezes um inteiro: basta reduzir 2023 módulo 4, porque \frac{n\pi}{2} tem período 4 (quatro meios-pi completam 2\pi). Calculamos:
2023 \equiv 3 \pmod{4},
logo \dfrac{2023\pi}{2} é congruente a \dfrac{3\pi}{2} (mod 2\pi). Assim o ângulo vale
\frac{\pi}{3}+\frac{2023\pi}{2} \equiv \frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{2} = \frac{2\pi}{6}+\frac{9\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}.
Sabemos que \dfrac{11\pi}{6}=2\pi-\dfrac{\pi}{6}, então
\cos\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},
\sin\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}.
Portanto a soma dos dois é
\cos\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)+\sin\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.

Passo 5

Voltando à expressão da derivada avaliada em t_0, com n=2023, obtemos
\left.\frac{d^{2023}f}{dt^{2023}}\right|_{t=t_0}=a^{2023}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{2}.
Pela informação do enunciado, isso deve ser igual a 3. Assim:
a^{2023}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{2}=3.
Isolando a^{2023} obtemos
a^{2023}=\frac{6}{\sqrt{3}-1}.
Nota: multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}+1 achamos a forma equivalente
a^{2023}= \frac{6}{\sqrt{3}-1} = \frac{6(\sqrt{3}+1)}{3-1}=3(\sqrt{3}+1),
mas a forma dada nas alternativas é a primeira. Portanto
a=\sqrt[2023]{\frac{6}{\sqrt{3}-1}}.

Passo 6

Compare com as alternativas fornecidas: a alternativa ii é exatamente
a=\sqrt[2023]{\frac{6}{\sqrt{3}-1}},
que coincide com o valor que acabamos de obter. As demais alternativas não coincidem com essa expressão.

Resposta

ii

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