Questão 4 Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
P Marcar questão
Sobre a função f(t)=\operatorname{Cos}(a t)+\operatorname{Sen}(a t), sabemos que \left.\frac{d^{2023} f}{d t^{2023}}\right|_{t=\frac{\pi}{3 a}}=3
Isto é possível porque
() i. a=\sqrt[2023]{\frac{3}{\sqrt{3}+1}}
() ii. \quad a=\sqrt[2023]{\frac{6}{\sqrt{3}-1}}
() iii. a=\sqrt[2023]{\frac{3}{\sqrt{3}-1}}
() iv. a=\sqrt[2023]{\frac{2}{\sqrt{3}-1}}
() v. a=\sqrt[2023]{\frac{6}{\sqrt{3}+1}}
Limpar minha escolha
Passo 1
O enunciado fornece a função f(t)=\cos(a t)+\sin(a t) e informa que a derivada de ordem 2023, avaliada em t=\dfrac{\pi}{3a}, vale 3:
Vamos entender como se comportam as derivadas sucessivas de \cos(at) e \sin(at). É útil observar as primeiras derivadas e ver o padrão:
\frac{d}{dt}\cos(at) = -a\sin(at),
\frac{d^2}{dt^2}\cos(at) = -a^2\cos(at),
\frac{d^3}{dt^3}\cos(at) = a^3\sin(at),
\frac{d^4}{dt^4}\cos(at) = a^4\cos(at).
Perceba que a cada derivação multiplica-se por a e “rotaciona-se” a função trigonométrica passando por uma sequência \cos\to -\sin\to -\cos\to \sin\to \cos, que corresponde a somar \tfrac{\pi}{2} no argumento da cosseno (ou seno) a cada derivada. Dessa observação obtemos a fórmula geral (muito usada em provas):
Aqui a^{n} aparece porque cada diferenciação traz um fator a, e o deslocamento \tfrac{n\pi}{2} no argumento junta os sinais e trocas entre seno/cosseno.
Passo 3
Aplicando essas fórmulas à soma, a derivada de ordem n de f é
Para simplificar o ângulo usemos a periodicidade de \frac{\pi}{2} vezes um inteiro: basta reduzir 2023 módulo 4, porque \frac{n\pi}{2} tem período 4 (quatro meios-pi completam 2\pi). Calculamos:
2023 \equiv 3 \pmod{4},
logo \dfrac{2023\pi}{2} é congruente a \dfrac{3\pi}{2} (mod 2\pi). Assim o ângulo vale