Um tanque tem um furo capaz de esvaziá-lo em 15 horas, estando este tanque todo abastecido. Por outras torneiras, a água tem capacidade de enchê-lo em 30 e 40 horas respectivamente. Pergunta-se:
a) Se o tanque estiver vazio e abrirem-se as torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque estará cheio?
b) Se o tanque estiver cheio e abrirem-se as torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque estará vazio?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas separadas:
a) Se o tanque estiver vazio e abrirem-se as duas torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque ficará cheio?
b) Se o tanque estiver cheio e abrirem-se as duas torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque ficará vazio?
Informações dadas (todas as quantidades abaixo estão no enunciado):
  • O furo esvazia o tanque quando ele está todo cheio em 15 horas.
  • Uma torneira enche o tanque em 30 horas.
  • Outra torneira enche o tanque em 40 horas.
Anote mentalmente: cada número acima descreve quanto tempo uma fonte (ou sumidouro) leva para encher/esvaziar “o tanque inteiro”. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos traduzir esses tempos em “taxas” (fração do tanque por hora). Isso é padrão em problemas de trabalho/fluxo: se algo enche o tanque em T horas, sua taxa é \dfrac{1}{T} do tanque por hora. Se algo esvazia em T horas, colocamos sinal negativo e a taxa é -\dfrac{1}{T}.
Definimos:
r_{\text{torneira 1}}=\frac{1}{30}\quad\text{(tanques por hora)}
r_{\text{torneira 2}}=\frac{1}{40}\quad\text{(tanques por hora)}
r_{\text{furo}}=-\frac{1}{15}\quad\text{(tanques por hora, negativo porque esvazia)}
Aqui explique rápido por que: r_{\text{torneira 1}}=\dfrac{1}{30} significa que em 1 hora essa torneira sozinha enche \dfrac{1}{30} do tanque; em 30 horas enche 30\cdot\dfrac{1}{30}=1 tanque inteiro. O mesmo raciocínio vale para as demais.

Passo 3

Quando abrimos todas ao mesmo tempo, as taxas se somam (lembre: sinais contam). A taxa líquida é
r_{\text{líquida}}=r_{\text{torneira 1}}+r_{\text{torneira 2}}+r_{\text{furo}}=\frac{1}{30}+\frac{1}{40}-\frac{1}{15}.í
Vamos calcular passo a passo usando mínimo múltiplo comum dos denominadores 30,40,15. O MMC é 120. Convertemos as frações para denominador 120:
\frac{1}{30}=\frac{4}{120},\qquad \frac{1}{40}=\frac{3}{120},\qquad \frac{1}{15}=\frac{8}{120}.
Somando/subtraindo:
r_{\text{líquida}}=\frac{4}{120}+\frac{3}{120}-\frac{8}{120}=\frac{7-8}{120}=-\frac{1}{120}.í
Interpretação: a taxa líquida é -\dfrac{1}{120} tanques por hora. O sinal negativo indica que, com todas abertas, a saída (furo) é mais forte que as entradas, então o efeito global é esvaziar — a cada hora perde-se, em média, \dfrac{1}{120} do tanque.

Passo 4

Agora respondemos (a): tanque vazio e todas abertas — em quanto tempo fica cheio?
Para que o tanque se encha, precisamos que a taxa líquida seja positiva (ou zero para estabilizar exatamente no nível, mas para encher precisa de positivo). Aqui encontramos
r_{\text{líquida}}=-\frac{1}{120}<0.í
Portanto a taxa líquida é negativa: as torneiras juntas não conseguem vencer o furo. Isso significa que não existe tempo finito para o tanque ficar cheio — ele nunca atinge o tanque completamente cheio enquanto as três aberturas permanecerem nas mesmas condições. (Em linguagem matemática: tempo para encher seria T=\dfrac{1}{r_{\text{líquida}}}í, mas isso só vale se r_{\text{líquida}}>0í.)
Nota didática curta: alguém pode pensar “mas começa vazio, então como esvaziar se está vazio?” No modelo padrão desses problemas assumimos que as vazões são constantes independentemente do nível; portanto o furo está drenando água à sua taxa assim que houver água no tanque, e como a vazão do furo é maior que a soma das torneiras, o nível nunca sobe até encher. Conclusão prática: com essas três aberturas, o tanque não enche.

Passo 5

Agora respondemos (b): tanque cheio e todas abertas — em quanto tempo fica vazio?
Se o tanque está cheio inicialmente (volume inicial =1 tanque) e a taxa líquida é -\dfrac{1}{120} tanques por hora, isso significa que a quantidade de tanque que se perde por hora é \dfrac{1}{120}. Para esvaziar 1 tanque inteiro à taxa \dfrac{1}{120} tanques/hora, o tempo necessário é o inverso dessa taxa:
T=\frac{1}{\frac{1}{120}}=120\\ \text{horas}.
Explicação didática: se em cada hora perde-se \dfrac{1}{120} do tanque, após 120 horas perde-se 120\cdot\dfrac{1}{120}=1 tanque inteiro, ou seja, fica vazio.

Passo 6

Pequena verificação e reforço (para você lembrar na prova):
  • Se a soma das taxas de enchimento fosse maior que a taxa de esvaziamento, r_{\text{líquida}}>0í, aí o tempo para encher a partir de vazio seria T=\dfrac{1}{r_{\text{líquida}}}í.
  • Como aqui r_{\text{líquida}}=-\dfrac{1}{120}í, não dá para aplicar essa fórmula para encher (não existe tempo finito).
  • Para esvaziar a partir de cheio, usamos sempre T=\dfrac{\text{volume inicial}}{|\text{taxa líquida}|}í. Volume inicial =1 tanque, taxa absoluta =\dfrac{1}{120}, daí T=120 horas.
Força aí — questão curta, virou só somar frações e interpretar o sinal do resultado.

Resposta

(a) O tanque não enche (não existe tempo finito).
(b) 120 horas.

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