Um tanque tem um furo capaz de esvaziá-lo em 15 horas, estando este tanque todo abastecido. Por outras torneiras, a água tem capacidade de enchê-lo em 30 e 40 horas respectivamente. Pergunta-se:
a) Se o tanque estiver vazio e abrirem-se as torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque estará cheio?
b) Se o tanque estiver cheio e abrirem-se as torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque estará vazio?
a) Se o tanque estiver vazio e abrirem-se as torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque estará cheio?
b) Se o tanque estiver cheio e abrirem-se as torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque estará vazio?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas separadas:
a) Se o tanque estiver vazio e abrirem-se as duas torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque ficará cheio?
b) Se o tanque estiver cheio e abrirem-se as duas torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque ficará vazio?
a) Se o tanque estiver vazio e abrirem-se as duas torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque ficará cheio?
b) Se o tanque estiver cheio e abrirem-se as duas torneiras e o furo, em quanto tempo o tanque ficará vazio?
Informações dadas (todas as quantidades abaixo estão no enunciado):
- O furo esvazia o tanque quando ele está todo cheio em
horas. - Uma torneira enche o tanque em
horas. - Outra torneira enche o tanque em
horas.
Anote mentalmente: cada número acima descreve quanto tempo uma fonte (ou sumidouro) leva para encher/esvaziar “o tanque inteiro”. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos traduzir esses tempos em “taxas” (fração do tanque por hora). Isso é padrão em problemas de trabalho/fluxo: se algo enche o tanque em
horas, sua taxa é
do tanque por hora. Se algo esvazia em
horas, colocamos sinal negativo e a taxa é
.
Definimos:
Aqui explique rápido por que:
significa que em
hora essa torneira sozinha enche
do tanque; em
horas enche
tanque inteiro. O mesmo raciocínio vale para as demais.
Passo 3
Quando abrimos todas ao mesmo tempo, as taxas se somam (lembre: sinais contam). A taxa líquida é
Vamos calcular passo a passo usando mínimo múltiplo comum dos denominadores
. O MMC é
. Convertemos as frações para denominador
:
Somando/subtraindo:
Interpretação: a taxa líquida é
tanques por hora. O sinal negativo indica que, com todas abertas, a saída (furo) é mais forte que as entradas, então o efeito global é esvaziar — a cada hora perde-se, em média,
do tanque.
Passo 4
Agora respondemos (a): tanque vazio e todas abertas — em quanto tempo fica cheio?
Para que o tanque se encha, precisamos que a taxa líquida seja positiva (ou zero para estabilizar exatamente no nível, mas para encher precisa de positivo). Aqui encontramos
Portanto a taxa líquida é negativa: as torneiras juntas não conseguem vencer o furo. Isso significa que não existe tempo finito para o tanque ficar cheio — ele nunca atinge o tanque completamente cheio enquanto as três aberturas permanecerem nas mesmas condições. (Em linguagem matemática: tempo para encher seria
, mas isso só vale se
.)
Nota didática curta: alguém pode pensar “mas começa vazio, então como esvaziar se está vazio?” No modelo padrão desses problemas assumimos que as vazões são constantes independentemente do nível; portanto o furo está drenando água à sua taxa assim que houver água no tanque, e como a vazão do furo é maior que a soma das torneiras, o nível nunca sobe até encher. Conclusão prática: com essas três aberturas, o tanque não enche.
Passo 5
Agora respondemos (b): tanque cheio e todas abertas — em quanto tempo fica vazio?
Se o tanque está cheio inicialmente (volume inicial
tanque) e a taxa líquida é
tanques por hora, isso significa que a quantidade de tanque que se perde por hora é
. Para esvaziar
tanque inteiro à taxa
tanques/hora, o tempo necessário é o inverso dessa taxa:
Explicação didática: se em cada hora perde-se
do tanque, após
horas perde-se
tanque inteiro, ou seja, fica vazio.
Passo 6
Pequena verificação e reforço (para você lembrar na prova):
- Se a soma das taxas de enchimento fosse maior que a taxa de esvaziamento,
, aí o tempo para encher a partir de vazio seria . - Como aqui
, não dá para aplicar essa fórmula para encher (não existe tempo finito). - Para esvaziar a partir de cheio, usamos sempre
. Volume inicial tanque, taxa absoluta , daí horas.
Força aí — questão curta, virou só somar frações e interpretar o sinal do resultado.
Resposta
(a) O tanque não enche (não existe tempo finito).
(b) horas.
(b)