A. 168 Resolver em \| R as inequações:
(3 x+5)^{2} \geqslant 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos números reais, a inequação
(3x+5)^{2} \geqslant 0.
Informações dadas: a expressão é um quadrado perfeito, (3x+5)^{2}. A incógnita é x e queremos todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Lição rápida e importante sobre quadrados: para qualquer número real t vale
t^{2} \geqslant 0.
Por que isso é verdade? Se t=0 então t^{2}=0. Se t>0 então t^{2}>0. Se t<0 então -t>0 e (-t)^{2}=t^{2}>0. Logo, ao elevar um real ao quadrado nunca obtemos um número negativo. Exemplo concreto: 2^{2}=4\ge0 e (-3)^{2}=9\ge0.

Passo 3

Aplique essa propriedade ao nosso caso tomando
t = 3x+5.
Pela propriedade anterior, para qualquer valor real de x temos
(3x+5)^{2} \geqslant 0.
Isso mostra que a desigualdade é satisfeita por muitos x — vamos agora ver quando ocorre igualdade (o caso limite).

Passo 4

Igualdade ocorre quando o quadrado é zero, ou seja, quando
(3x+5)^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x+5=0.
Resolvendo 3x+5=0 temos
3x=-5 \quad\Longrightarrow\quad x=-\dfrac{5}{3}.

Passo 5

Resumo do raciocínio: por ser um quadrado perfeito, (3x+5)^{2} é sempre maior ou igual a zero para qualquer x\in\mathbb{R}. O único caso em que vale exatamente zero é quando x=-\dfrac{5}{3}.

Resposta

\mathbb{R}

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