Calcule os comutadores
em que
, sendo que:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o comutador
onde está dado
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
(energia cinética
mais potencial
) e os operadores
e
aparecem. A tarefa é encontrar explicitamente
.
Passo 2
Vou lembrar o que é um comutador e algumas propriedades úteis. O comutador entre dois operadores
e
é
Propriedades que vou usar (são fáceis de demonstrar expandindo produtos):
Essas fórmulas permitem decompor comutadores envolvendo somas e produtos.
Passo 3
Uso a linearidade do comutador para separar as partes de
. Como
, temos
Vou tratar cada termo separadamente.
Passo 4
Trato primeiro
. Como
é uma função do operador
, operadores que dependem apenas de
comutam com
. Logo
pois
(pense em expandir
em série de potências de
, cada termo
comuta com
).
Passo 5
Agora calculo
. Uso a propriedade do comutador com produto, tomando
,
e
:
Essa identidade vem de
aplicada a
,
,
.
Passo 6
Uso agora a relação canônica fundamental entre posição e momento
o que implica
Substituindo em
obtenho
Passo 7
Volto ao comutador original. Como
e
, segue
Uma observação física rápida (para fixar): isso é consistente com a relação de Heisenberg para a velocidade
.