Calcule os comutadores
H, x
em que H=p_{x}^{2} / 2 m+V(x), sendo que:

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o comutador \,[H,x]\, onde está dado
H=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+V(x).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de H (energia cinética \frac{p_x^2}{2m} mais potencial V(x)) e os operadores x e p_x aparecem. A tarefa é encontrar explicitamente [H,x]=Hx-xH.

Passo 2

Vou lembrar o que é um comutador e algumas propriedades úteis. O comutador entre dois operadores A e B é
[A,B]=AB-BA.
Propriedades que vou usar (são fáceis de demonstrar expandindo produtos):
[A,B+C]=[A,B]+[A,C],
[A,\,BC]=[A,B]C+B[A,C].
Essas fórmulas permitem decompor comutadores envolvendo somas e produtos.

Passo 3

Uso a linearidade do comutador para separar as partes de H. Como H=\dfrac{p_x^2}{2m}+V(x), temos
[H,x]=\left[\frac{p_x^2}{2m},x\right]+[V(x),x].
Vou tratar cada termo separadamente.

Passo 4

Trato primeiro [V(x),x]. Como V(x) é uma função do operador x, operadores que dependem apenas de x comutam com x. Logo
[V(x),x]=0,
pois V(x)\,x=x\,V(x) (pense em expandir V em série de potências de x, cada termo \propto x^n comuta com x).

Passo 5

Agora calculo \left[\dfrac{p_x^2}{2m},x\right]. Uso a propriedade do comutador com produto, tomando A=p_x, B=p_x e C=x:
[p_x^2,x]=[p_x p_x,x]=p_x[p_x,x]+[p_x,x]p_x.
Essa identidade vem de [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B aplicada a A=p_x, B=p_x, C=x.

Passo 6

Uso agora a relação canônica fundamental entre posição e momento
[x,p_x]=i\hbar,
o que implica
[p_x,x]=-i\hbar.
Substituindo em [p_x^2,x] obtenho
[p_x^2,x]=p_x(-i\hbar)+(-i\hbar)p_x=-2i\hbar\,p_x.

Passo 7

Volto ao comutador original. Como [V(x),x]=0 e [p_x^2,x]=-2i\hbar\,p_x, segue
[H,x]=\frac{1}{2m}[-2i\hbar\,p_x]+0=-\frac{i\hbar}{m}\,p_x.
Uma observação física rápida (para fixar): isso é consistente com a relação de Heisenberg para a velocidade \dot{x}=(i\hbar)^{-1}[x,H]=p_x/m.

Resposta

[H,x]=-\dfrac{i\hbar}{m}\,p_x

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