17-20 Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro
dado.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro
dado.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma função paramétrica ou componentes de foram dadas.
Informação que falta e que é necessária para resolver o problema: a curva paramétrica (vetor posição) — isto é, as funções componentes
(ou
se for no espaço) — e, se for pedido num ponto específico, o valor numérico do parâmetro
. Sem essa informação numérica/função não é possível calcular um valor concreto de
.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma função paramétrica ou componentes de
Informação que falta e que é necessária para resolver o problema: a curva paramétrica (vetor posição)
Passo 2
Definição e ideia principal (a “fórmula” que você precisa decorar e aplicar na prova).
Se a curva é dada por um vetor posição , então a velocidade (vetor tangente não unitário) é
Se a curva é dada por um vetor posição
O vetor tangente unitário é obtido normalizando essa velocidade:
Aqui:
-
significa derivar cada componente de em relação a ; -
é o comprimento (norma) do vetor , dado por uma raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
Passo 3
Como calcular passo a passo (receita para a prova):
- Escreva a curva:
(ou no plano). - Calcule a derivada componente a componente:
- Calcule a norma:
(Se for no plano, só somar os dois primeiros quadrados.)
4. Verifique que . Se a derivada for o vetor nulo no
pedido,
NÃO está definida (não existe vetor tangente unitário nesse ponto sem reparametrização).
5. Divida componente a componente:
4. Verifique que
5. Divida componente a componente:
Pronto — esse é o processo que você deve aplicar em qualquer exercício.
Passo 4
Exemplo concreto 1 (passo a passo):
.
- Derivada:
- Norma:
- Vetor tangente unitário:
Exemplo numérico rápido: em
,
Passo 5
Exemplo concreto 2 (caso clássico, circunferência):
.
- Derivada:
- Norma (note que
):
- Vetor tangente unitário:
Exemplo numérico: em
,
Passo 6
Casos especiais e dicas de prova:
- Se
no pedido, informe que não está definida. Às vezes o enunciado quer reparametrizar a curva para obter o vetor tangente, mas isso é outra etapa — primeiro dizer que não existe por derivada zero. - Ao fazer contas sem calculadora, tente fatorar expressões dentro da raiz para simplificar ou identifique cancelamentos na divisão componente a componente.
- Guarde na cabeça: derivada → direção do movimento; normalizar = dividir pelo comprimento para ficar com vetor de módulo
.
Passo 7
Resumo prático (um mini-roteiro para a prova):
- Anote
. - Calcule
. - Calcule
. - Se
, diga que não existe; caso contrário, calcule .
Fazendo isso com calma e passo a passo você não erra — e se ficar inseguro, calcule primeiro em letras e depois substitua onumérico.
Resposta
Não é possível determinar
porque o enunciado não fornece a curva paramétrica
(nem suas componentes). Forneça
ou as equações paramétricas para que eu calcule
.