17-20 Determine o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma função paramétrica ou componentes de \mathbf{r}(t) foram dadas.
Informação que falta e que é necessária para resolver o problema: a curva paramétrica (vetor posição) \mathbf{r}(t) — isto é, as funções componentes x(t),\,y(t) (ou x(t),y(t),z(t) se for no espaço) — e, se for pedido num ponto específico, o valor numérico do parâmetro t. Sem essa informação numérica/função não é possível calcular um valor concreto de \mathbf{T}(t).

Passo 2

Definição e ideia principal (a “fórmula” que você precisa decorar e aplicar na prova).
Se a curva é dada por um vetor posição \mathbf{r}(t), então a velocidade (vetor tangente não unitário) é
\mathbf{r}'(t).
O vetor tangente unitário é obtido normalizando essa velocidade:
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.
Aqui:
  • \mathbf{r}'(t) significa derivar cada componente de \mathbf{r}(t) em relação a t;
  • \|\mathbf{r}'(t)\| é o comprimento (norma) do vetor \mathbf{r}'(t), dado por uma raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.

Passo 3

Como calcular passo a passo (receita para a prova):
  1. Escreva a curva: \mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t),\,z(t)\rangle (ou \langle x(t),y(t)\rangle no plano).
  2. Calcule a derivada componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\rangle.
  1. Calcule a norma:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}+[z'(t)]^{2}}.
(Se for no plano, só somar os dois primeiros quadrados.)
4. Verifique que \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0}. Se a derivada for o vetor nulo no t pedido, \mathbf{T}(t) NÃO está definida (não existe vetor tangente unitário nesse ponto sem reparametrização).
5. Divida componente a componente:
\mathbf{T}(t)=\frac{1}{\|\mathbf{r}'(t)\|}\,\mathbf{r}'(t).
Pronto — esse é o processo que você deve aplicar em qualquer exercício.

Passo 4

Exemplo concreto 1 (passo a passo): \mathbf{r}(t)=\langle t^{2},\,t^{3},\,t\rangle.
  1. Derivada:
\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\,3t^{2},\,1\rangle.
  1. Norma:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{4t^{2}+9t^{4}+1}.
  1. Vetor tangente unitário:
\mathbf{T}(t)=\frac{\langle 2t,\,3t^{2},\,1\rangle}{\sqrt{4t^{2}+9t^{4}+1}}.
Exemplo numérico rápido: em t=1,
\mathbf{T}(1)=\frac{\langle 2,\,3,\,1\rangle}{\sqrt{14}}=\left\langle \dfrac{2}{\sqrt{14}},\,\dfrac{3}{\sqrt{14}},\,\dfrac{1}{\sqrt{14}}\right\rangle.

Passo 5

Exemplo concreto 2 (caso clássico, circunferência): \mathbf{r}(t)=\langle \cos t,\,\sin t,\,0\rangle.
  1. Derivada:
\mathbf{r}'(t)=\langle -\sin t,\,\cos t,\,0\rangle.
  1. Norma (note que \sin^{2}t+\cos^{2}t=1):
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+0^{2}}=1.
  1. Vetor tangente unitário:
\mathbf{T}(t)=\langle -\sin t,\,\cos t,\,0\rangle.
Exemplo numérico: em t=\dfrac{\pi}{2},
\mathbf{T}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\langle -1,\,0,\,0\rangle.

Passo 6

Casos especiais e dicas de prova:
  • Se \mathbf{r}'(t)=\mathbf{0} no t pedido, informe que \mathbf{T}(t) não está definida. Às vezes o enunciado quer reparametrizar a curva para obter o vetor tangente, mas isso é outra etapa — primeiro dizer que não existe por derivada zero.
  • Ao fazer contas sem calculadora, tente fatorar expressões dentro da raiz para simplificar ou identifique cancelamentos na divisão componente a componente.
  • Guarde na cabeça: derivada → direção do movimento; normalizar = dividir pelo comprimento para ficar com vetor de módulo 1.

Passo 7

Resumo prático (um mini-roteiro para a prova):
  1. Anote \mathbf{r}(t).
  2. Calcule \mathbf{r}'(t).
  3. Calcule \|\mathbf{r}'(t)\|.
  4. Se \|\mathbf{r}'(t)\|=0, diga que \mathbf{T}(t) não existe; caso contrário, calcule \mathbf{T}(t)=\mathbf{r}'(t)/\|\mathbf{r}'(t)\|.
    Fazendo isso com calma e passo a passo você não erra — e se ficar inseguro, calcule primeiro em letras e depois substitua o t numérico.

Resposta

Não é possível determinar \mathbf{T}(t) porque o enunciado não fornece a curva paramétrica \mathbf{r}(t) (nem suas componentes). Forneça \mathbf{r}(t) ou as equações paramétricas para que eu calcule \mathbf{T}(t).

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