Determine o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.
\mathbf{r}(t)=\left\langle 6 t^{3}, 4 t^{3}, 2 t\right\rangle, \quad t=1

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto cujo parâmetro vale t=1.
Informações dadas:
  • A função vetor é \mathbf{r}(t)=\left\langle 6 t^{3},\,4 t^{3},\,2 t\right\rangle.
  • O parâmetro onde queremos o vetor tangente unitário é t=1.

Passo 2

Definição e ideia principal (mini-aula curta): o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) de uma curva dada por \mathbf{r}(t) é a direção do movimento normalizada. A fórmula é
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|},
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada componente a componente da função vetor e \|\mathbf{r}'(t)\| é o comprimento (norma) desse vetor. Para derivar cada componente usa-se a regra do poder: \dfrac{d}{dt}(t^n)=n t^{n-1}.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t) derivando cada componente:
\mathbf{r}(t)=\left\langle 6 t^{3},\,4 t^{3},\,2 t\right\rangle
Portanto, aplicando a regra do poder,
\mathbf{r}'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}(6t^3),\,\frac{d}{dt}(4t^3),\,\frac{d}{dt}(2t)\right\rangle = \left\langle 18 t^{2},\,12 t^{2},\,2\right\rangle.

Passo 4

Calcular a norma \|\mathbf{r}'(t)\|. A norma de um vetor \langle a,b,c\rangle é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Logo,
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(18 t^{2})^{2}+(12 t^{2})^{2}+2^{2}}.
Desenvolvendo os quadrados:
(18 t^{2})^{2}=324 t^{4},\qquad (12 t^{2})^{2}=144 t^{4},\qquad 2^{2}=4.
Somando:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{324 t^{4}+144 t^{4}+4}=\sqrt{468 t^{4}+4}.
Fatorando 4 para simplificar,
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{4\bigl(117 t^{4}+1\bigr)}=2\sqrt{117 t^{4}+1}.

Passo 5

Formar o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) usando a definição:
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|} =\frac{\langle 18 t^{2},\,12 t^{2},\,2\rangle}{2\sqrt{117 t^{4}+1}}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 2:
\mathbf{T}(t)=\frac{\langle 9 t^{2},\,6 t^{2},\,1\rangle}{\sqrt{117 t^{4}+1}}.
Essa é uma forma simples e prática para avaliar \mathbf{T}(t) em qualquer t.

Passo 6

Avaliar em t=1. Substituindo t=1 na expressão:
\mathbf{T}(1)=\frac{\langle 9\cdot 1^{2},\,6\cdot 1^{2},\,1\rangle}{\sqrt{117\cdot 1^{4}+1}} =\frac{\langle 9,\,6,\,1\rangle}{\sqrt{117+1}} =\frac{\langle 9,\,6,\,1\rangle}{\sqrt{118}}.
Verificação rápida (opcional): a norma de \langle 9,6,1\rangle é \sqrt{9^{2}+6^{2}+1^{2}}=\sqrt{81+36+1}=\sqrt{118}, então dividir por \sqrt{118} realmente dá vetor de norma 1.

Resposta

\mathbf{T}(1)=\dfrac{1}{\sqrt{118}}\left\langle 9,\,6,\,1\right\rangle

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