Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro
dado.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o vetor tangente unitário
no ponto cujo parâmetro vale
.
Informações dadas:
- A função vetor é
- O parâmetro onde queremos o vetor tangente unitário é
.
Passo 2
Definição e ideia principal (mini-aula curta): o vetor tangente unitário
de uma curva dada por
é a direção do movimento normalizada. A fórmula é
onde
é a derivada componente a componente da função vetor e
é o comprimento (norma) desse vetor. Para derivar cada componente usa-se a regra do poder:
.
Passo 3
Calcular
derivando cada componente:
Portanto, aplicando a regra do poder,
Passo 4
Calcular a norma
. A norma de um vetor
é
. Logo,
Desenvolvendo os quadrados:
Somando:
Fatorando
para simplificar,
Passo 5
Formar o vetor tangente unitário
usando a definição:
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Essa é uma forma simples e prática para avaliar
em qualquer
.
Passo 6
Avaliar em
. Substituindo
na expressão:
Verificação rápida (opcional): a norma de
é
, então dividir por
realmente dá vetor de norma
.