(Pucpo Medicina 2023) Em uma das seções de votação de certa cidade, 400 eleitores estavam aptos a votar nas Eleições Gerais de 2022.
Desses eleitores, nessas eleições, exatamente
312 votaram no primeiro turno;
100 não votaram no segundo turno;
80 deixaram de votar em ambos os turnos.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados sobre uma seção de votação com 400 eleitores aptos:
  • 312 eleitores votaram no primeiro turno.
  • 100 eleitores não votaram no segundo turno.
  • 80 eleitores deixaram de votar em ambos os turnos.
A pergunta que vamos responder (a forma mais comum dessa questão) é: quantos eleitores votaram em ambos os turnos? Vou também calcular outras quantidades úteis que normalmente aparecem em provas: quantos votaram no segundo turno, quantos votaram em pelo menos um dos turnos, e quantos votaram apenas em um dos turnos.

Passo 2

Definimos conjuntos e notação para ficar claro:
  • Seja A o conjunto dos eleitores que votaram no primeiro turno. Então |A|=312.
  • Seja B o conjunto dos eleitores que votaram no segundo turno. Não foi dada diretamente |B|, mas foi dito que 100 não votaram no segundo turno.
  • O universo tem |U|=400 eleitores aptos.
  • Seja N o número de eleitores que não votaram em nenhum dos dois turnos; o enunciado diz que N=80.
  • Queremos encontrar |A\cap B| (quantos votaram em ambos os turnos). Também vamos obter |B|, |A\cup B|, |A\setminus B| (só primeiro) e |B\setminus A| (só segundo).

Passo 3

Calcular |B| (quantos votaram no segundo turno) a partir de “100 não votaram no segundo turno”:
Como há 400 eleitores e 100 não votaram no segundo turno, o número que votaram no segundo turno é
|B| = 400 - 100 = 300.

Passo 4

Calcular |A\cup B| (quantos votaram em pelo menos um dos turnos) a partir de “80 deixaram de votar em ambos os turnos”:
Se 80 não votaram em nenhum dos turnos, então os que votaram em pelo menos um turno são
|A\cup B| = 400 - 80 = 320.

Passo 5

Usar a fórmula da inclusão-exclusão para obter |A\cap B|.
A fórmula de inclusão-exclusão para dois conjuntos é
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.
Nessa fórmula:
  • |A\cup B| é o número de pessoas que votaram em pelo menos um turno,
  • |A| e |B| são os números que votaram em cada turno isoladamente,
  • |A\cap B| é o número que votou nos dois.
Isolando |A\cap B| temos
|A\cap B| = |A| + |B| - |A\cup B|.
Substituindo os números que já temos:
|A\cap B| = 312 + 300 - 320 = 292.
Portanto 292 eleitores votaram em ambos os turnos.

Passo 6

Calcular quantos votaram apenas em um dos turnos (checando consistência):
  • Só no primeiro turno:
|A\setminus B| = |A| - |A\cap B| = 312 - 292 = 20.
  • Só no segundo turno:
|B\setminus A| = |B| - |A\cap B| = 300 - 292 = 8.
  • Não votaram em nenhum: dado 80.
Verificação rápida de soma (todas as partes partitionam o universo):
292\\ (\text{ambos}) + 20\\ (\text{só 1º}) + 8\\ (\text{só 2º}) + 80\\ (\text{nenhum}) = 400,óºóº
logo os números são consistentes.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova: quando há perguntas sobre “quantos votaram em ambos” ou “quantos votaram em pelo menos um”, sempre pense em conjuntos A e B, converta “não votaram” em complemento relativo ao universo e use a fórmula de inclusão-exclusão. Fazer o diagrama de Venn (mesmo mentalmente) ajuda muito para visualizar “só A”, “só B”, “ambos” e “nenhum”.

Resposta

Número que votaram em ambos os turnos: 292
Número que votaram no segundo turno: 300
Número que votaram em pelo menos um turno: 320
Número que votaram só no primeiro turno: 20
Número que votaram só no segundo turno: 8
Número que não votaram em nenhum turno: 80

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