(Pucpo Medicina 2023) Em uma das seções de votação de certa cidade, 400 eleitores estavam aptos a votar nas Eleições Gerais de 2022.
Desses eleitores, nessas eleições, exatamente
312 votaram no primeiro turno;
100 não votaram no segundo turno;
80 deixaram de votar em ambos os turnos.
312 votaram no primeiro turno;
100 não votaram no segundo turno;
80 deixaram de votar em ambos os turnos.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados sobre uma seção de votação com
eleitores aptos:
-
eleitores votaram no primeiro turno. -
eleitores não votaram no segundo turno. -
eleitores deixaram de votar em ambos os turnos.
A pergunta que vamos responder (a forma mais comum dessa questão) é: quantos eleitores votaram em ambos os turnos? Vou também calcular outras quantidades úteis que normalmente aparecem em provas: quantos votaram no segundo turno, quantos votaram em pelo menos um dos turnos, e quantos votaram apenas em um dos turnos.
Passo 2
Definimos conjuntos e notação para ficar claro:
- Seja
o conjunto dos eleitores que votaram no primeiro turno. Então . - Seja
o conjunto dos eleitores que votaram no segundo turno. Não foi dada diretamente , mas foi dito que não votaram no segundo turno. - O universo tem
eleitores aptos. - Seja
o número de eleitores que não votaram em nenhum dos dois turnos; o enunciado diz que . - Queremos encontrar
(quantos votaram em ambos os turnos). Também vamos obter , , (só primeiro) e (só segundo).
Passo 3
Calcular
(quantos votaram no segundo turno) a partir de “100 não votaram no segundo turno”:
Como há
eleitores e
não votaram no segundo turno, o número que votaram no segundo turno é
Passo 4
Calcular
(quantos votaram em pelo menos um dos turnos) a partir de “80 deixaram de votar em ambos os turnos”:
Se
não votaram em nenhum dos turnos, então os que votaram em pelo menos um turno são
Passo 5
Usar a fórmula da inclusão-exclusão para obter
.
A fórmula de inclusão-exclusão para dois conjuntos é
Nessa fórmula:
-
é o número de pessoas que votaram em pelo menos um turno, -
e são os números que votaram em cada turno isoladamente, -
é o número que votou nos dois.
Isolando
temos
Substituindo os números que já temos:
Portanto
eleitores votaram em ambos os turnos.
Passo 6
Calcular quantos votaram apenas em um dos turnos (checando consistência):
- Só no primeiro turno:
- Só no segundo turno:
- Não votaram em nenhum: dado
.
Verificação rápida de soma (todas as partes partitionam o universo):
logo os números são consistentes.
Passo 7
Interpretação final e dica para prova: quando há perguntas sobre “quantos votaram em ambos” ou “quantos votaram em pelo menos um”, sempre pense em conjuntos
e
, converta “não votaram” em complemento relativo ao universo e use a fórmula de inclusão-exclusão. Fazer o diagrama de Venn (mesmo mentalmente) ajuda muito para visualizar “só A”, “só B”, “ambos” e “nenhum”.
Resposta
Número que votaram em ambos os turnos:
Número que votaram no segundo turno:
Número que votaram em pelo menos um turno:
Número que votaram só no primeiro turno:
Número que votaram só no segundo turno:
Número que não votaram em nenhum turno:
Número que votaram no segundo turno:
Número que votaram em pelo menos um turno:
Número que votaram só no primeiro turno:
Número que votaram só no segundo turno:
Número que não votaram em nenhum turno: