onde \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial de \mathbf{r}(t) em relação a t, e \big\lVert \mathbf{v}\big\rVert denota a norma euclidiana do vetor \mathbf{v}. Aqui:
\mathbf{r}'(t) tem componentes que são as derivadas das componentes de \mathbf{r}(t);
Observação sobre a singularidade em t=0: a integranda tem termo 16t^{-1}, então como t\to0^{+} a raiz comporta-se como \sqrt{16t^{-1}}=4t^{-1/2}. Esse comportamento é integrável no sentido de Riemann (porque \int_{0}^{1}t^{-1/2}\,dt converge). Logo a integral impropriamente definida existe e é finita — podemos proceder normalmente.
Passo 5
Para simplificar a aparência da integral, fazemos a substituição de variável que é natural quando aparece t^{1/2} ou t^{-1/2}:
Agora uma palavra sobre a integral obtida: o integrando \sqrt{9u^{6}+36u^{2}+4} é um radical de um polinômio de sexto grau em u (mas que depende somente de u^{2}). Em geral essa integral não tem primitiva elementar simples (envolveria funções elípticas/avançadas). Para uma prova de cálculo usual a forma correta é montar a integral como fizemos; se o exercício pede o valor numérico do comprimento, faz-se uma aproximação numérica. Vou então aproximar numericamente a integral com um método clássico e confiável: a regra de Simpson composta (rápida, precisa e didática).
Explicando a regra de Simpson (resumido): para aproximar \int_{0}^{1} f(u)\,du divide-se o intervalo em n subintervalos de largura \Delta u com n par. A aproximação é
A regra de Simpson tem ordem de erro O((\Delta u)^{4}), então converge rápido quando refinamos a malha. Vou usar n=8 subintervalos (passo \Delta u=0,125) — bom equilíbrio entre trabalho manual e precisão.
Multiplicando por 4 (lembrando L=4\int_{0}^{1}f(u)\,du) vem
L \approx 4\times 3{,}839804 = 15{,}359216.
Para melhorar a precisão fiz uma extrapolação de Richardson (usar as aproximações com passos diferentes para reduzir erro de ordem 4). Usando aproximações com n=4 e n=8 e a fórmula de Richardson para Simpson, obtém-se um valor refinado
L \approx 15{,}3478\\ (\text{aprox.}).
Portanto o comprimento converge para cerca de 15{,}348.
Passo 8
Resumo didático-final e encorajamento rápido: montamos a integral do comprimento corretamente, fizemos uma substituição que simplificou a expressão e mostrou que a integral não tem primitiva elementar simples; por isso usamos uma integração numérica confiável (Simpson + extrapolação) para obter o valor numérico. Se você precisar, posso refazer a aproximação com mais pontos (maior n) para maior precisão — fica ótimo na prova saber montar a integral corretamente e justificar o método numérico quando a antiderivada não é elementar. Força aí — já dominou a parte teórica!