17.59 * Um carpinteiro constrói a parede externa de uma casa usando uma camada de madeira com 3,0 \mathrm{~cm} de espessura e uma camada de isopor com espessura de 2,2 \mathrm{~cm} na superfície interna da parede. A madeira possui k=0,080 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} e o isopor possui k=0,027 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. A temperatura da superficie interna da parede é igual a 19,0^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura da superfície externa é igual a -10,0^{\circ} \mathrm{C}. (a) Qual é a temperatura na superfície da jun-
ção entre a madeira e o isopor? (b) Qual é a taxa de transferência de calor por metro quadrado através dessa parede?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes valores do enunciado):
  • Espessura da madeira: L_{\rm m}=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0,030\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica da madeira: k_{\rm m}=0{,}080\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Espessura do isopor (espuma): L_{\rm i}=2{,}2\\ \mathrm{cm}=0,022\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do isopor: k_{\rm i}=0{,}027\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Temperatura da superfície interna da parede (lado quente): T_{\rm in}=19{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície externa da parede (lado frio): T_{\rm out}=-10{,}0^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) Qual é a temperatura na superfície da junção entre a madeira e o isopor?
(b) Qual é a taxa de transferência de calor por metro quadrado através dessa parede?
Observação útil: como pedem “por metro quadrado”, vou tomar a área A=1\\ \mathrm{m}^2 para todos os cálculos (isso simplifica e dá diretamente a taxa por unidade de área).

Passo 2

Conceito físico e fórmula essencial (aula rápida, sem pular etapas).
  • Em regime estacionário unidimensional (temperaturas constantes no tempo e fluxo indo do interior para o exterior), a taxa de calor que atravessa uma camada plana homogênea é dada por uma forma da Lei de Fourier:
\dot Q = -k A \frac{\Delta T}{L},
onde:
  • \dot Q é a taxa de transferência de calor (W),
  • k é a condutividade térmica da camada (W/(m·K)),
  • A é a área atravessada (m^2),
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre as superfícies da camada (K ou °C),
  • L é a espessura da camada (m).
    O sinal negativo indica que o calor flui no sentido de decrescer da temperatura; aqui vamos trabalhar apenas com magnitudes e com a convenção de que o calor sai do interior para o exterior.
  • Para duas camadas em série (madeira + isopor), a mesma taxa de calor \dot Q passa por ambas. É conveniente definir resistência térmica de cada camada:
R=\frac{L}{kA},
com unidades \mathrm{K/W}. Para camadas em série a resistência equivalente é a soma:
R_{\rm tot}=R_{\rm m}+R_{\rm i}.
Então a taxa de calor (magnitude) é
\dot Q=\frac{T_{\rm in}-T_{\rm out}}{R_{\rm tot}}.
Como queremos por metro quadrado, escolhemos A=1\\ \mathrm{m}^2 e calculamos \dot q=\dfrac{\dot Q}{A}=\dot Q numericamente com A=1.

Passo 3

Calcular as resistências térmicas das camadas (usando A=1\\ \mathrm{m}^2) e explicar cada passo:
  • Resistência da madeira:
R_{\rm m}=\frac{L_{\rm m}}{k_{\rm m}A}=\frac{0,030}{0,080\cdot 1}=0{,}375\\ \mathrm{K/W}.
Explicação: divide-se a espessura pela condutividade vezes área; quanto maior k mais fácil o calor passa e menor a resistência.
  • Resistência do isopor:
R_{\rm i}=\frac{L_{\rm i}}{k_{\rm i}A}=\frac{0,022}{0,027\cdot 1}\approx 0{,}8148148148\\ \mathrm{K/W}.
Observação: o isopor tem condutividade muito menor que a madeira, por isso sua resistência é maior apesar de ser mais fino.
  • Resistência total:
R_{\rm tot}=R_{\rm m}+R_{\rm i}=0{,}375+0{,}8148148148\approx 1{,}1898148148\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Calcular a taxa de transferência de calor por metro quadrado (diferença de temperatura total dividida pela resistência total):
  • Diferença de temperatura entre faces:
\Delta T = T_{\rm in}-T_{\rm out}=19{,}0-(-10{,}0)=29{,}0\\ \mathrm{K}.
  • Taxa de calor por 1\\ \mathrm{m}^2:
\dot q=\frac{\Delta T}{R_{\rm tot}}=\frac{29{,}0}{1{,}1898148148}\approx 24{,}37\\ \mathrm{W/m^2}.
Comentário prático: isso significa que, em cada metro quadrado dessa parede, cerca de 24{,}4\\ \mathrm{W} estão saindo para o exterior sob essas condições.

Passo 5

Calcular a temperatura na junção (interface) madeira–isopor usando a continuidade do fluxo e a queda de temperatura proporcional à resistência da madeira.
  • Queda de temperatura através da madeira:
\Delta T_{\rm m}=\dot q\;R_{\rm m}.
Substituindo números:
\Delta T_{\rm m}\approx 24{,}37\times 0{,}375 \approx 9{,}14\\ \mathrm{K}.
  • Como a superfície interna está a T_{\rm in}=19{,}0^\circ\mathrm{C}, a temperatura na interface (lado entre madeira e isopor) é
T_{\rm int}=T_{\rm in}-\Delta T_{\rm m}\approx 19{,}0-9{,}14\approx 9{,}86^\circ\mathrm{C}.
Checagem rápida (sanity check): a queda de temperatura no isopor será \Delta T_{\rm i}=\dot q\,R_{\rm i}\approx 24{,}37\times 0{,}8148\approx 19{,}86\\ \mathrm{K}, e \Delta T_{\rm m}+\Delta T_{\rm i}\approx 9{,}14+19{,}86\approx 29{,}0\\ \mathrm{K}, que é exatamente a diferença entre T_{\rm in} e T_{\rm out}. Ótimo — consistência confirmada.

Passo 6

Dicas de prova e resumo do método (um recadinho amigo):
  • Em problemas de condução através de várias camadas planas, sempre transforme espessuras para metros, escolha A=1\\ \mathrm{m}^2 se pedirem “por metro quadrado”, calcule resistências R=L/(kA), some-as e use \dot q=(T_{\rm in}-T_{\rm out})/R_{\rm tot}.
  • Para achar temperaturas intermediárias, calcule a queda de temperatura em cada camada como \Delta T=\dot q\,R e subtraia progressivamente a partir do lado quente.
  • Respire fundo — a técnica é mecânica e repetitiva, então na prova basta seguir os passos com atenção às unidades.

Resposta

T_{\rm junção}\approx 9{,}86^\circ\mathrm{C}çã
\dot q\approx 24{,}4\\ \mathrm{W/m^2}

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