1. Imagine que você esteja sentado numa sala com as costas voltadas para a parede, da qual emerge um feixe de elétrons que se move horizontalmente na direção da parede em frente. Se o feixe de elétrons for desviado para a sua direita, qual será a direção e o sentido do camno maqnético existente na sala?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação 1: há um feixe de elétrons saindo da parede atrás de você e movendo-se horizontalmente na direção da parede em frente (ou seja, o feixe vai da parede de trás para a parede da frente).
  • Informação 2: observa-se que o feixe de elétrons é desviado para a sua direita.
  • Pergunta: qual é a direção e o sentido do campo magnético presente na sala?

Passo 2

Apresentando a lei que vamos usar (sem pular etapas): a força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela regra de Lorentz
\vec F = q\,(\vec v \times \vec B).
Explicando cada símbolo:
  • \vec F é a força magnética (vetor), ou seja, a direção na qual a partícula é empurrada pelo campo magnético.
  • q é a carga elétrica da partícula (para o elétron, q=-e onde e>0).
  • \vec v é o vetor velocidade da partícula (direção e sentido do movimento).
  • \vec B é o vetor campo magnético (o que queremos determinar).
  • O símbolo \times é o produto vetorial (cross product): \vec v\times\vec B é um vetor perpendicular a \vec v e a \vec B, com direção dada pela regra da mão direita para cargas positivas.

Passo 3

Como interpretar o produto vetorial na prática (regra da mão direita) e como tratar a carga negativa do elétron:
  • Para uma carga positiva, a direção de \vec v\times\vec B é obtida com a regra da mão direita: aponte os dedos na direção de \vec v e dobre-os em direção a \vec B; o polegar indica a direção de \vec v\times\vec B. A força \vec F é então q vezes esse vetor.
  • Para uma carga negativa (elétron, q=-e), a força \vec F aponta no sentido oposto a (\vec v\times\vec B), pois o sinal de q é negativo. Ou seja, se \vec v\times\vec B aponta para cima, a força sobre o elétron apontará para baixo.

Passo 4

Escolhendo um sistema de referência explícito para não nos confundir (isso é só para desenhar/vizualizar):
  • Direção para a frente (da sua posição em direção à parede da frente) defineremos como \hat{\imath} (ou + x).
  • Direção para a sua direita definiremos como \hat{\jmath} (ou + y).
  • Direção para cima (do chão para o teto) definiremos como \hat{k} (ou + z).
    Com isso, o feixe tem velocidade aproximadamente
\vec v = v\,\hat{\imath}
porque vai da parede de trás para a parede da frente (direção “para a frente”). O desvio observado é para a sua direita, isto é, a força na partícula é
\vec F = F\,\hat{\jmath}.

Passo 5

Relacionando \vec F com \vec v\times\vec B para o elétron:
Como o elétron tem q=-e, a lei dá
\vec F = -e\,(\vec v \times \vec B).
Reescrevendo,
\vec v \times \vec B = -\frac{1}{e}\,\vec F.
Portanto \vec v\times\vec B aponta na direção oposta a \vec F. Já estabelecemos que \vec F é para a sua direita ( +\hat{\jmath}), logo
\vec v\times\vec B \quad\text{aponta para}\quad -\hat{\jmath}\\ (\text{ou seja, para a sua esquerda}).

Passo 6

Agora determino \vec B a partir da condição \vec v\times\vec B = -\hat{\jmath}, sabendo que \vec v = v\,\hat{\imath}.
  • Lembre: \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}, \hat{\jmath}\times\hat{k}=\hat{\imath}, \hat{k}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath}. Também \hat{\imath}\times\hat{k}=-\hat{\jmath}.
  • Queremos \vec v\times\vec B = v(\hat{\imath}\times\vec B) = -\hat{\jmath}.
  • Se escolhermos \vec B paralelo a \hat{k} (para cima), ou seja \vec B = B\,\hat{k}, então
\hat{\imath}\times\hat{k} = -\hat{\jmath}.
Multiplicando por vB temos exatamente
\vec v\times\vec B = vB\,(\hat{\imath}\times\hat{k}) = vB\,(-\hat{\jmath}),
que tem a direção correta (para a esquerda) requerida pela etapa anterior. Isso satisfaz a relação necessária para que, ao multiplicar por q=-e, a força resultante fique para a direita.

Passo 7

Interpretação final e verificação da consistência:
  • Com \vec B apontando para cima ( \hat{k}), obtemos \vec v\times\vec B para a esquerda; multiplicando por q=-e resulta numa força para a direita sobre o elétron, que é o que foi observado. Logo a escolha é correta.
  • Não há outra direção simples (horizontal) que funcione sem criar inconsistências com o sinal negativo da carga; a solução única, consistente com o observado, é \vec B com sentido para cima (do chão para o teto), podendo o módulo ser tal que produza a deflexão observada.

Resposta

\vec B dirigida para cima (do chão para o teto).

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