sistema é de 20% (ou seja, 80% da energia solar incidente é perdida). Que área de coleta é necessária para aumentar a temperatura de 200 L de água no tanque de 20^{\circ} \mathrm{C} para 40^{\circ} \mathrm{C} em 1,0 \mathrm{~h} se a intensidade da luz solar incidente é 700 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área de coleta necessária para aquecer 200 L de água de 20^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C} em 1{,}0 h, sabendo que a intensidade solar incidente é 700\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 e que o sistema tem eficiência de 20\% (ou seja, somente 20\% da energia incidente é aproveitada). Dados extraídos do enunciado:
  • Volume da água: 200\\ \mathrm{L} (logo massa aproximada da água: 200\\ \mathrm{kg}, assumindo densidade 1{,}0\\ \mathrm{kg/L}).
  • Temperaturas: T_i = 20^\circ\mathrm{C}, T_f = 40^\circ\mathrm{C}. Diferença de temperatura: \Delta T = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Tempo disponível: 1{,}0\\ \mathrm{h}.
  • Intensidade solar incidente: I = 700\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Eficiência do sistema: \eta = 20\% = 0{,}20.
    O que se quer encontrar: a área A (em \mathrm{m}^2) do coletor solar necessária.

Passo 2

Qual é a física por trás e a fórmula que vamos usar? Para aquecer uma massa de água, a energia térmica necessária é dada por:
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é a energia necessária (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa da água (em quilogramas, \mathrm{kg});
  • c é o calor específico da água (em \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}, igual a kelvin para diferenças).
    Explicando de forma bem simples: o calor específico c diz quanta energia é necessária para elevar 1 kg de água em 1^\circ\mathrm{C}. Para água líquida, usamos c \approx 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)} (valor padrão usado em problemas).

Passo 3

Calcular a energia necessária Q usando m=200\\ \mathrm{kg}, c=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)} e \Delta T=20^\circ\mathrm{C}:
c\,\Delta T = 4186 \times 20 = 83\,720\\ \mathrm{J/(kg)}.
Q = m\,c\,\Delta T = 200 \times 83\,720 = 16\,744\,000\\ \mathrm{J}.
Portanto, é necessária uma energia térmica de Q = 16\,744\,000\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Agora relacionar essa energia necessária com a energia solar disponível. Em t segundos, a energia solar incidente sobre uma área A é
E_{\text{inc}} = I \, A \, t,
onde I é a irradiância ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2), A é a área ( \mathrm{m}^2) e t é o tempo em segundos. Mas o sistema aproveita apenas uma fração \eta dessa energia, então a energia útil obtida é
E_{\text{útil}} = \eta \, I \, A \, t.ú
Impondo que a energia útil deve ser igual a Q (assumindo nenhuma outra perda além da eficiência já dada):
\eta \, I \, A \, t = Q.
Isolando A:
A = \frac{Q}{\eta \, I \, t}.

Passo 5

Converter o tempo 1{,}0\\ \mathrm{h} para segundos e calcular o denominador:
t = 1{,}0\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}.
Calcular \eta I t:
\eta I t = 0{,}20 \times 700 \times 3600.
Fazendo aos poucos:
0{,}20 \times 700 = 140\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2,
140 \times 3600 = 504\,000\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^2.
Logo \eta I t = 504\,000\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^2.

Passo 6

Calcular a área A usando os valores obtidos:
A = \frac{Q}{\eta I t} = \frac{16\,744\,000}{504\,000}\\ \mathrm{m}^2 \approx 33{,}22\\ \mathrm{m}^2.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais: A \approx 33{,}22\\ \mathrm{m}^2.
Pequena observação amiga: isso dá uma área relativamente grande (cerca de 33\\ \mathrm{m}^2) porque a eficiência é baixa (apenas 20\%) e o aquecimento pedido é significativo em apenas 1 hora. Se a eficiência fosse maior ou o tempo maior, a área necessária cairia.

Resposta

33{,}22\\ \mathrm{m}^2

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