17.21 • Os trilhos de aço de uma estrada de ferro estão dispostos em segmentos de
de comprimento ligados pelas extremidades. Os trilhos são instalados em um dia de inverno, com temperatura igual a
. (a) Qual o espaço que deve ser mantido entre dois segmentos de trilho adjacentes de modo que eles se toquem em um dia de verão com uma temperatura de
? (b) Caso os trilhos estivessem em contato inicialmente, qual seria a tensão sobre eles em um dia de verão a uma temperatura de
?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados são fornecidos. O enunciado dá:
- Comprimento de cada segmento de trilho:
. - Temperatura de instalação (inverno):
. - Temperatura no dia de verão:
.
As perguntas são:
(a) Qual o espaço inicial (folga) que deve ser deixado entre dois segmentos adjacentes para que, ao aquecer de para
, os trilhos passem a se tocar?
(b) Se inicialmente os trilhos estivessem em contato (sem folga), qual seria a tensão (stress) nos trilhos ao esquentar até ?
(a) Qual o espaço inicial (folga) que deve ser deixado entre dois segmentos adjacentes para que, ao aquecer de
(b) Se inicialmente os trilhos estivessem em contato (sem folga), qual seria a tensão (stress) nos trilhos ao esquentar até
Observação: o enunciado não fornece o coeficiente de dilatação linear do aço nem o módulo de Young. Vou usar valores típicos do aço estrutural e declarar isso explicitamente:
- Coeficiente de dilatação linear do aço:
. - Módulo de Young do aço:
.
Se o seu professor pede usar outros valores para
ou
, basta substituir esses números nas fórmulas abaixo.
Passo 2
Entender a dilatação térmica linear e a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática). Quando um corpo de comprimento inicial
sofre uma variação de temperatura
, sua variação de comprimento (para dilatação linear) é dada por:
Aqui:
-
é quanto o comprimento cresce (em metros, se estiver em metros). -
é o coeficiente de dilatação linear (unidade ). -
é o comprimento inicial. -
é a variação de temperatura (em ).
A ideia para (a): a folga inicial deve ser igual a
para que, ao aquecer, o trilho se expanda e apenas chegue a tocar o próximo segmento (sem gerar compressão). Portanto calculamos
.
Passo 3
Calcular
com os dados:
Agora aplicar a fórmula de dilatação para obter a folga necessária:
Substituindo os números (tudo em TeX):
Passo 4
Fazer as contas passo a passo (sem pular etapas):
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora multiplique por
:
Colocando em metros:
Convertendo para milímetros (útil para folgas pequenas):
Arredondando de forma razoável (dados com 3 algarismos significativos):
.
Comentário motivador: portanto, para essa variação de temperatura, cada trilho de
cresce cerca de
— é pequeno em metros, mas significativo para juntinhas de trilhos.
Passo 5
Agora a parte (b): se os trilhos estiverem inicialmente em contato, ao aquecer eles tentarão expandir mas são impedidos (vizinhos, travessas, dormentes, etc.). Isso gera uma deformação forçada (strain) que, para materiais elásticos lineares, produz uma tensão dada por a lei de Hooke na forma:
onde
é a tensão (stress, em Pa),
é o módulo de Young e
é a deformação (strain, adimensional). No caso de expansão térmica impedida, a “deformação térmica livre” seria
. Se o comprimento não pode mudar, a deformação real é zero e a deformação elástica necessária para anular a térmica é
(sinal negativo indica compressão interna). Em módulo, a tensão é
Explicando de forma simples: o material “quer” aumentar
do seu comprimento, e para evitar isso fica comprimido; a intensidade dessa compressão por unidade de área é
.
Passo 6
Calcular numericamente
com os valores escolhidos:
Calcule passo a passo: primeiro
:
Agora multiplica por
:
Em unidades mais usuais de engenharia, converte-se para megapascais:
Arredondando razoavelmente:
ou
.
Passo 7
Interpretação rápida e encorajamento: essa tensão de cerca de
é alta, mas dentro da ordem das tensões que o aço pode sofrer sem falha (depende do tipo de aço: muitos aços estruturais têm limite de escoamento da ordem de
–
). Por isso, na prática, deixam-se folgas e usam-se juntas especiais, ou então pré-comprimem/controlam temperatura/instalam juntas elásticas para evitar cedimentos.
Resposta
(a)
(b)
(b)