5-17 Amostras de tamanho n=5 são tiradas de um processo de manufatura a cada hora. Uma característica da qualidade é medida e valores de barx e R são calculados para cada amostra. Depois da análise de 25 amostras, obtém-se que
sumi=1^25 barxi=662,50 e sumi=1^25 Ri=9,00
A característica da qualidade é normalmente distribuída.
(a) Ache os limites de controle para os gráficos barx e R.
(b) Suponha que ambos os gráficos exibam controle. Se as especificações são 26,40 pm 0,50, estime a fração de não-con-
(c) Se a média do processo fosse 26,40 , qual seria a fração de não-conformes.

Passo 1

O enunciado diz que tiramos k=25 amostras de tamanho n=5. Para cada amostra calculamos bar xi e Ri e sabemos
sumi=1^25bar xi = 662,50, sumi=1^25Ri = 9,00
Na parte (a) precisamos dos limites de controle dos gráficos bar x e R; para isso utilizaremos as constantes de controle para n=5:
A2=0,577, D3=0, D4=2,114.
Nas partes (b) e (c) vamos supor processo normal, estimar o desvio padrão a partir de bar R e calcular a fração não-conforme dado um intervalo de especificação.

Passo 2

Calcular os valores centrais da amostragem:
barbar x = 125sumi=1^25bar xi = 662,5025 = 26,5,
bar R = 125sumi=1^25Ri = 9,0025 = 0,36

Passo 3

Limites de controle para o gráfico bar x:
UCLbar x = barbar x + A2,bar R = 26,5 + 0,577cdot 0,36 =26,5 + 0,2077 approx 26,708,
LCLbar x = barbar x - A2,bar R = 26,5 - 0,2077 approx 26,292

Passo 4

Limites de controle para o gráfico R:
UCLR = D4,bar R = 2,114 cdot 0,36 approx 0,761,
LCLR = D3,bar R = 0 cdot 0,36 = 0

Passo 5

Estimativa do desvio padrão do processo:
hatsigma = bar Rd2,
para n=5 temos d2=2,326, então
hatsigma = 0,362,326 approx 0,155

Passo 6

(b) Supondo controle, tomamos mu=26,5 e sigmaapprox0,155. Especificações 26,40pm0,50 dão
LSL=25,90, USL=26,90.
A fração abaixo de LSL é
P(X<25,90) = Phi!l(tfrac25,90-26,50,155r) = Phi(-3,87) approx 5,4times10^-5,
e acima de USL é
P(X>26,90) = 1 - Phi!l(tfrac26,90-26,50,155r) = 1 - Phi(2,58) approx 4,9times10^-3
Total de não-conformes approx 0,00495.

Passo 7

(c) Se mu=26,40 e mesmo sigma, então
z = 25,90-26,400,155 = -3,23, z = 26,90-26,400,155 = +3,23
Assim
P(X<25,90) = Phi(-3,23)approx 6times10^-4, P(X>26,90) = 1-Phi(3,23)approx 6times10^-4,
total de não-conformes approx 1,2times10^-3.

Resposta

(a)
UCLbar xapprox26,708, LCLbar xapprox26,292; UCLRapprox0,761, LCLR=0
(b) Fração não-conformes approx0,00495.
(c) Fração não-conformes approx0,0012.

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